| Autor |
Beitrag |
    
Tom
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. August, 2000 - 17:46: | 
|
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte. Wenns geht wäre sehr hilfreich, wenn eine Idee, wie man auf die Lösung kommt, mitangegeben wird.
Es sei (G,*) eine endliche Gruppe
a) Zeige: Für alle a € G gibt es ein k € N: a^k=e
b) Gilt auch: Es gibt ein k € N für alle a € G:
a^k=e |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. August, 2000 - 21:08: |
|
Hi Tom,
Tipp zu a) Da G endlich, gibt es m und n mit m > n und a^m = a^n ("Schubfachprinzip").
Tipp zu b) Wenn a^n = e, dann auch a^(mn) = e für jedes m.
Brauchst du weitere Hinweise? Gruß Z. |
Tom
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. August, 2000 - 12:40: |
|
Hallo Zaph, Danke für die Hilfe, ich vestehe die Sache aber irgendwie trotzdem nicht.
Warum muss G eigentlich endlich sein? Was für Element enthält G? Warum gibt es ein m > n?
Kannst du mir vielleicht ein Beispiel angeben?
zu b)Woher weiss ich, dass a^(mn) = e, was sagt mir das für die Frage? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. August, 2000 - 15:54: |
|
zu a) Wenn a ein Element der Gruppe ist, dann auch a^n für jedes n. Wenn jetzt alle a^n verschieden wären, dann hätte die Gruppe ja unendlich viele Elemente. Also gibt es ein m und ein n, sodass m und n verschieden und a^m und a^n gleich sind. Diese Argmentation nennt man "Schubfachprinzip". Wenn dann m > n ist, dann ist a^(m-n) = e.
zu b) Es gilt auch in beliebigen Gruppen das Potenzgesetz
a^(mn) = (a^n)^m.
Wenn a^n = e ist, dann auch a^(mn) = (a^n)^m = e^m = e.
Da die Gruppe endlich ist, gebt es zu jedem a ein n(a) mit a^n(a) = e (siehe Teil a).
Setze
r = Produkt aus allen n(a).
Dann
a^r = e für jedes a.
Jetzt alles klar? |
odi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. August, 2000 - 12:17: |
|
arica arriba |
Banu
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 21:59: |
|
hi, ich habe hier eine knifflige Frage , wäre
nett wenn mir jemand helfen würde.
Man weise durch Prüfen der Axiome nach,dass ein Körper K als Vektorraum bezüglich eines Teilkörpers K'<K aufgefasst werden kann.
b. Welche Dimension hat der grosser Körper K=C
über K'=IR? Angabe einer Basis! |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 23:50: |
|
b) 2 mit Basis {1,i} (beispielsweise)
a) mußt Dir mal anschauen welche Kriterien es gibt und welche davon aufgrund der Eigenschaft K' Ì K sowieso schon erfüllt sind. |
Botulin (Botulin)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. August, 2000 - 16:34: |
|
Moin,
Ich weiß es jetzt im Moment nicht so genau, weil ich im Moment keine Literatur zur Hand habe, aber der Beweis dürfte ueber den kleinen Satz von Fermat laufen. Schlagt mal nach, weil ich die Definition im Moment auch nicht 100 pro hinbekomme. Viel Glück |
Xyz (Xyz)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 22:40: |
|
Hi,
noch eine Aufgabe, mit der ich nicht weiterkomme:
Zeigen Sie: einen nichtleere Teilmenge U einer endlichen Gruppe G ist schon Untergruppe von G, wenn aus a,b Element U immer folg: a*b Element U.
Ich muß doch jetzt nachweisen, daß a*b Element U.
Da U ungleich leere Menge => a E U (?)
und a E U => a^-1 E U.
Wie gehe ich das ganze an?
Danke |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 20:24: |
|
Hi Xyz,
nein, umgekehrt.
Du mußt zeigen, daß:
U nichtleere Teilmenge von M und für alle a,beU ist a*beU
=>
U ist Untergruppe von G.
Du mußt also a*beU benutzen, wenn Du die Gruppeneigenschaften für U nachweist.
Gruß
Matroid |
Xyz (Xyz)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 21:22: |
|
Danke Matroid aber irgendwie verstehe ich es doch noch nicht ganz. Mein Ansatz ist:
es gibt ein a eU mit a*a^-1 und ein b eU mit b*b^-1 => a^-1 und b^-1 eU
=> a*b eU.
Das kann doch nicht korrekt sein, oder? Für eine Hilfe wäre ich echt dankbar! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 22:05: |
|
Erst lesen, dann denken!
Du mußt nicht beweisen, daß a*beU
a*beU ist die Voraussetzung
Du mußt für U die Gruppeneigenschaften zeigen.
Also
a) die Abgeschlossenheit: für a,beU ist a*beU
b) die Assoziativität: (a*b)*c=a*(b*c)
c) die Existenz des neutralen Elements: a*e=e*a=a
d) die Existenz des Inversen Elements: a*a'=a*a=e
Aussage a) ist gegeben.
Aussage b) gilt für alle Elemente aus M, also insbesondere auch für alle Elemente aus U, denn alle Elemente aus U sind ja auch in M.
Aussage c) ist etwas tückisch: Zeige, daß aus a*beU auch folgt, daß eeU. Um das zu zeigen benötigt man die Voraussetzung, daß M endlich ist und U nichtleer. Weil U nicht leer, existiert ein aeU. Betrachte dann a*a, dieses ist in U nach Voraussetzung. Darum ist (a*a)*a auch in U, denn a*a und a sind in U. usw. Es folgt also das aneU für alle neN. Da U endlich ist, muß für irgendein n0>1 wieder gelten an0=a [*]
Das schreiben wir mal als a * an0-1 = a.
Folglich ist e = an0-1 in U.
Die Stelle [*] müssen wir aber noch etwas genauer betrachten. Wäre es nicht möglich - fragt der Zweifler - daß niemals an0=a? Na gut, sagen wir dann: dieser Zweifler muß überzeugt werden. Wenn an0 schon nicht gleich a ist, dann ist es gleich b. Und dann machen wir das gleiche mit b statt a. Und betrachten bm0
Dann ist aber bm0 = an0*m0. Und falls bm0 nun niemals gleich b wird, dann eben = c usw. Das können wir so oft machen, wie U Elemente hat. Dann aber ist Schluß. Irgendwann muß ein aeU existieren und ein n0, so daß an0 = a ist.
Aussage d) geht fast genau wie Aussage c)
Aus an0 = a (n0>0) und der Existenz von e in U folgt:
a * an0-1 = a
=> an0-1 = e
=> an0-2 = a-1 das gesuchte Inverse.
Nun müssen wir aber noch auf den Fall n0=1 achten. Doch - zum Glück - das gibt es gar nicht. Das n0 war ja der Anzahl der Multiplikationen von a mit sich selbst, solange, bis sich wieder a ergibt. Und wir hatten mit a*a unsere Überlegung begonnen, also ist n0>=2.
Was ist aber mit n0=2? In diesem Fall ist a*a=a, da bedeutet aber, daß a selbst das neutrale Element ist. Für das neutrale Element ist die Existenz des Inversen Elements trivial.
Ich muß schon sagen, diese "einfache" Aufgabe hat sich ganz schön ausgedehnt.
Ist es so richtig?
Gruß
Matroid |
Xyz (Xyz)
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 22:00: |
|
Danke Matroid |
Dimo (Dimo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 21:27: |
|
Hi,
ich habe eine Aufgabe, die mir etwas Schwierigkeiten bereitet:
S3={Permutation von {1,2,3}}
Bestimme alle Untergruppen der Gruppe S3. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 22:05: |
|
Nette Aufgaben, Dimo.
Dazu muß ich ein wenig ausholen:
Zuerst mal die Klärung von "Permutation".
Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung einer Menge M in sich selbst.
Beispiel p1 : {1,2,3} -> {1,2,3}
mit p1(1) = 2, p1(2) = 3, p1(3) = 1
ist eine Permutation.
p2(1) = 2, p2(2) = 1, p2(3) = 3
ist eine andere Permutation.
Und p3(1) = 1, p3(2) = 2, p3(3) = 3
ist auch eine Permutation.
Letztere Permutation nennt man auch die identische Permutation.
Um eine Gruppe zu haben, braucht man eine Verknüpfung der Permutationen. Also was ist p3op2 oder p1op2 oder p1op1 usw.
Für 2 Permutationen p und q definiert man die Verknüpfung poq also: (poq)(x) = p(q(x)). Das ist ok so, denn beide sind bijektiv auf M, also ist poq wieder eine Permutation.
Man kann nun die Gruppeneigenschaften für S3 nachweisen, aber das hast Du vielleicht schon gemacht.
Nun zu den Untergruppen.
Dazu möchte ich zuerst noch eine kürzere Schreibweise für die Permutationen einführen.
Wir schreiben z.B. p=(12)(3) wenn p(1)=2 und p(2)=1 und p(3)=3. In einer Klammer stehen immer die Elemente in der Reihenfolge, wie die aufeinander abgebildet werden.
Andere Permutationen in dieser Schreibweise: (123) oder (132) oder (1)(2)(3).
Letzter ist wieder das neutrale Element der Permutationen. Es wird nämlich da jedes Element auf sich selbst abgebildet.
Insbesondere ist dann für beliebige Permutationen p: (1)(2)(3)op = p und po(1)(2)(3) = p.
Was können nun Untergruppen von S3 sein:
z.B. die Menge {(1)(2)(3)}
oder die Menge {(12)(3) , (1)(2)(3) }
Kannst Du das nachvollziehen, daß das Untergruppen sind?
Probier mal selbst, welche anderen Untergruppen es gibt.
Viel Erfolg
Matroid |
Dimo (Dimo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 16:23: |
|
Schoenen Dank, Matroid!!! |
Hawk (Hawk)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 16:46: |
|
Hallo!
Könnte mir jemand vielleicht bei folgender Aufgabe behilflich sein (sonst krieg ich eine Krise)
Beweise:
Seien f,g E K[X], g ungleich 0. Dann existieren eindeutig bestimmte Polynome q,r E K[X], für die
f = qg+r und r=0 oder grad r < grad g
gilt. |
Vice (Vice)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 07:47: |
|
Hallöchen
Ich habe da mal nee "kleine" Frage:
Wie zur Hölle beweise ich den "kleinen Satz von Fermat". |
Malte (Binomi)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 11:04: |
|
Du meinst wahrscheinlich x³+y³=z³...
Es ist zu aufwendig das hier rein zuschreiben, versuch mal den Link Fermats kleiner Satz
Hoffe geholfen zuhaben...Tschöööö |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 18:56: |
|
Nein, Malte, mit dem "kleinen Satz von Fermat" wird i. A. die folgende Tatsache gemeint:
Satz: Es sei G eine endliche Gruppe mit neutralem Element e. Dann gilt für jedes g aus G, dass g|G| = e.
Oft wird auch die folgende Folgerung als "kleiner Satz von Fermat" bezeichnet.
Korrolar: Wenn p eine Primzahl ist, dann gilt
xp-1 = 1 mod p für 0 < x < p.
Beweis (hier nur für eine abelsche Gruppe):
Da G endlich, ist G = {a1,a2,...,an} mit unterschiedlichen a1, a2, ... , an.
Für jedes i = 1,2,...,n existiert ein bi mit
ai = bi g.
Für i ungleich j ist bi ungleich bj, denn wäre bi = bj, dann wäre
ai = bi g = bj g = aj.
Also ist
{a1,a2,...,an} = {b1,b2,...,bn}.
Da G abelsch, folgt
a1 a2 ... an = b1 g b2 g ... bn g = b1 b2 ... bn gn = a1 a2 ... an gn.
Jetzt beide Seiten durch a1 a2 ... an teilen:
e = gn. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 19:00: |
|
Vice, wenn du das nicht verstanden hast, weil du nicht weißt, was eine abelsche Gruppe ist, und stattdessen das suchst, was ich als "Korollar" bezeichnet habe, dann frag noch mal nach. |
Anno
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 21:36: |
|
Sei G eine Gruppe und a e G mit der Ordnung o(a)=m
Zu beweisen: o(a^k) = m / g.g.T(k,m) gilt für alle k e Z
g.g.T = größter gemeinsamer Teiler
Hat jemand einen Tipp wie man das lösen könnte? |
|
