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Gaußsche Zahlenebene

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Fred
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. August, 2000 - 19:13:   Beitrag drucken

Wie bestimme und skizziere ich die durch:
9zz` - 5[1/2 Im (z-z`+2i)]^2 +2 Im(z)<=0
und
Re (iz) +2 >= - 1/2 (z+z`)
und
(z+1)^6 ungleich 64
gegebene Menge in der Gaußschen Zahlenebene?

z`= z quer!
Im voraus herzlichen Dank!!
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 21:27:   Beitrag drucken

Hi Fred,
ersetze z durch x + iy. Nach etwas Rechnerei erhältst du (wenn du dich nicht verrechnest und wenn ich mich nicht verrechnet habe), dass Ungleichung 1 äquivalent ist zu
9x² + 4(y-1)² <= 9
und für Ungleichung 2
x + y <= 2.

Ungleichung 1 beschreibt das innere und den Rand einer Ellipse mit Mittelpunkt i, deren Hauptachsen parallel zu der reellen bzw. imaginären Achse sind und deren Scheitelpunkte 1 + i, 1 - i, 5/2 i, -1/2 i sind.

Ungleichung 2 ist die Halbenebe unterhalb der Geraden durch 2 und 2i (inklusive der Geraden).

Ungleichung 1 und 2 zusammen sind also für die Punkte erfüllt, die innerhalb der oben rechts abgeschnittenen Ellipse liegen.

Jetzt kommt noch die Bedingung (z + 1)^6 <> 64. Es ist (z + 1)^6 = 64 für z = 1, -3, iW(3)), -iW(3), -2 + iW(3), -2 - iW(3) (alles Punkte auf dem Kreis mit Mittelpunkt -1 und Radius 2). Von diesen sechs Punkten liegt nur iW(3) innerhalb der abgeschnittenen Ellipse, gehört also nicht zur Lösungsmenge.

Ich hoffe es stimmt alles und du kannst was mit anfangen. Z.
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Fred
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Veröffentlicht am Freitag, den 04. August, 2000 - 23:39:   Beitrag drucken

Hey Zaph.
Vielen Dank das du dir die Zeit genommen hast diese Aufgabe zu rechnen(find`ich echt super!).

Beim bearbeiten dieser Aufgabe komme ich jedoch, abweichend von deiner Lösung auf folgende Ergebnisse:
a) y-x<=2
b) zweiter Scheitelpunkt (-1;+i)
c) Ungleichung 1+2 zusammen sind für die Punkte erfüllt, die innerhalb der unten rechts abgeschn.Ellipse liegen.
Weisst du wo ich mich verrechnet haben ?

Ausserdem hab`ich einige Probleme (z+1)^6ungl. 64 zu berechnen.
Könntest du mir den Lösungsweg etwas genauer angeben? Ich wär`dir sehr dankbar dafür.

Grüsse, Fred.
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Samstag, den 05. August, 2000 - 11:44:   Beitrag drucken

Hi Fred,
zu a) Du hast Recht!
zu b) Du hast Recht!

Gut, dass du alles noch einmal nachgerechnet hast.

zu c) y - x <= 2 ist die Halbebene unterhalb der Geraden y - x = 2. Also ist die Ellipse oben links abgeschnitten.

zu (z + 1)^6 <> 64:
Bestimme zunächst alle w mit w^6 = 64.
Es folgt w = 2 * [6. Einheitswurzel]
Die sechs 6. Einheitswurzeln (= die 6. Potenz ist 1) liegen alle auf dem Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 1 und zerteilen den Kreis gleichmäßig in sechs Teile. Eine 6. Einheitswurzel ist 1. Die anderen fünf lauten dann
(1 + W(3)i)/2, (-1 + W(3)i)/2, -1, (-1 - W(3)i)/2, (1 - W(3)i)/2
(W(3) = Wurzel aus 3).
Also w = 2, 1 + W(3)i, -1 + W(3)i, -2, -1 - W(3)i, 1 - W(3)i
Mit w = z + 1 folgt
z = 1, W(3)i, -2 + W(3)i, -3, -2 - W(3)i, -W(3)i,
bzw. diese Werte darf z gerade nicht annehmen.
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eric (Stirling)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 13:41:   Beitrag drucken

hallo leute.
wie kann ich z=2-3i in der Polardarstellung angeben. Muss ich den winkel zwischen reeller Achse und betrag von z in grad- oder bogenmaß angeben, also e hoch was???
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. danke eric

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