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Beitrag |
    
Anja
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 12:01: | 
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Wer kann mir bei folgender Übung helfen (Tipp, Lösungsansatz, ...):
Ein Anleger zahle zu Beginn jeden Jahres 1000 DM auf ein Sparkonto. Am Ende welchen
Jahres übersteigt sein Vermögen 50000 DM (ohne die Einzahlung zu Beginn des nächsten Jahres),
wenn der Zinssatz mit 10 Prozent per anno angenommen wird?
Vielen Dank schon jetzt!
Anja |
PiDaumen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 12:41: |
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Ansatz: 1000*q*(1-qn)/(1-q) > 50000 mit q=1.1=1+10/100
Jetzt logarithmierst Du (ausprobieren tut es auch) und erhälst n>17.97, also n=18.
Kleiner Antwortsatz .... .
Pi*Daumen |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 12:50: |
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Hallo Anja,
Bezeichnungen:
Zinsfuß p=10
Zinssatz i=10 % = 0.10
Aufzinsungsfaktor r=1+i = 1,10
Vorschüssige Einzahlungen R =1000
Anzahl der Jahre n
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Endkapital E = R*r*(rn-1/i) muss größer 50000 sein
daraus n berechnen:
50000*0,10/(1000*1,10)+1=1,10n
n= ln((50000*0,10)/(1000*1,10))/ln(1,10)
n=17,97 Jahre
Nach 18 Jahren beträgt der Endwert DEM 50159
============================================= |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 12:51: |
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Na da ist mir PiDaumen zuvorgekommen. |
Michi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 18:20: |
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Hi Leute
ich verstehe nicht ganz, wie bei diesen Formeln ein richtiges Ergebnis rauskommen kann.
Könnte das vielleicht mal jemand herleiten?
Ich dachte nämlich man kann so eine Zinsaufgabe nur so primitiv lösen wie:
(1000*1,1) + (1000*1,1²) + (1000*1,1³) ......
Vielen Dank
(Ach ja könnte mir vielleicht auch jemand sagen, mit welchen Tasten man Buchstaben hochstellen kann?) |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 23:09: |
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Hi Michi,
die von Fern und Pi*Daumen benutzten Formeln sind die sogenannten Summenformeln für vor- bzw. nachschüssige Renten.
Unter Rente versteht man im finfanzmathematischen Zusammenhang eine jährlich wiederkehrende Einzahlung fester Größe mit einer Verzinseszinsung. Dabei unterscheidet man noch, ob der Betrag am Anfang des Jahres (Vorschüssig) oder am Ende des Jahres (nachschüssig) eingezahlt wird.
Zu Deiner Frage:
Nehmen wir an, jemand zahlt 5 Jahre lang nachschüssig 1000 DM zu 10% auf einem Konto ein. Er zahlt also am Ende des 1.,2.,3.,4.,5. Jahres ein. Der Betrag, den er am Ende des 1. Jahres einzahlt, liegt 4 Jahre auf Zinseszins, der Betag am Ende des 2. Jahres liegt 3 Jahre auf Zinseszins usw.
Das stellt sich dann so dar:
1000*1,14+1000*1,13+...+1000*1,10
Wir erhalten dann einen Rentenendwert von 6.105,10 DM. Das können wir aber noch schneller berechnen, denn es wäre wirklich sehr mühsam wenn die Rente 40 Jahre dauern würde...,oder?
Betrachten wir die Summe oben näher, so stellen wir fest, dass sie eine geometrische Folge mit dem Quotienten q=1,1 ist (das ermittelt man, indem man z.B. 1000*1,12 durch 1000*1,1 teilt, oder in der Sprache der Folgen und Reihen: das höhere Glied An+1 durch An)
Für solch eine geometrische Folge gibt es eine Summenformel, sie lautet:
Sn = a1 * (qn-1)/(q-1)
(a1 ist dabei das erste Glied der Folge)
Beachten wir noch das q = 1,1 und a1 = 1000 ist, so finden wir hier sehr schnell den Rentenendwert von 6.105,10 DM.
Wenn die Rente vorschüssig ist, dann steht das Kapital insgesamt noch ein Jahr länger auf Zinseszins, also lautet die Formel dann
Sn = a1 * q * (qn-1)/(q-1)
Zur Herleitung:
Die Entwicklung dieser Formel geht auf einen Rechnentrick zurück, dem man den damals erst 11-jährigen Carl-Friedrich Gauß zuschreibt. Ich möchte den Beweis nur kurz umreißen, den Rest rechne bitte selbst nach:
Mit Sn kennzeichnet man die Summe einer geometrischen Folge bis zum n. Glied. Allgemein gilt:
Sn= a1+ a1*q + a1*q2+...+ a1*qn-1
Wir multiplizieren diese Gleichung mit q und erhalten eine neue, zweite Gleichung:
Sn * q = a1*q + a1*q2+...+ a1*qn
(Schreibe beide Gleichungen so exakt untereinander, das z.B. a1*q der ersten über dem a1*q der zweiten Gleichung steht, usw.)
Jetzt subtrahiert man die 1. von der 2. Gleichung und erhält
Sn(q-1) = a1(qn-1)
Den triumphalen Schluß, so dass Sn auf der linken Seite steht, überlasse ich Dir, es ist ein einfacher Schritt zu einer eindrucksvollen Formel.
Viel Spaß beim Nachrechnen wünscht
 Oliver
P.S.: Hochgestellte/Tiefgestellte Buchstaben erhältst Du über den Syntax "A" (für tiefgestellte Buchstaben benutze das Minus-Zeichen, aber alles ohne die Anführungszeichen!) |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 23:13: |
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Au weia, jetzt ist der Syntax für die Hochgestellten/tiefgestellte Buchstaben nichts geworden, zweiter Anlauf, aber ohne die senkrechten Balken darin verwenden:
|\|(hier Plus/Minuszeichen)|{A}
Ich hoffe, das es nun klappt!
Oliver |
PiDaumen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 23:17: |
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an schreibt man so: a\+{n}
an schreibt man so: a\-{n}
Diese und viele andere Formatierungsregeln (Bilder einfügen, Attachements, mathematische Sonderzeichen ...) kannst Du hier nachlesen, ist eigentlich recht einfach:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/board-formatting.html
Viel Spaß: Pi*Daumen |
PiDaumen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 23:20: |
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Oliver, da haben wir uns gekreuzt.
Wenn Du zweimal "Backslash" statt einmal verwendest, dann kannst Du es so darstellen, wie ich es gemacht habe.
Ciao, Pi*Daumen |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Juli, 2000 - 09:21: |
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Hallo Kollegen!
Erlaubt mir diese kritische Bemerkung:
Von "Universitäts Niveau" kann doch bei dieser Aufgabe keine Rede sein-
Gruß N. |
Michi
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Juli, 2000 - 10:46: |
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Hi Oliver
Vielen Dank für die ausführliche Herleitung.
Man muss sich diese Genialität mal vorstellen, wie ein 11 Jähriger in der Lage ist auf so was zu kommen.
Einfach Klasse! |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Juli, 2000 - 12:05: |
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Hi Michi,
schön wenn Du die Summenformel gut findest, es gibt heutzutage nur wenige Schüler (?) die noch Freude an der Mathematik haben bzw. ihr doch etwas Schönheit abgewinnen können.
Nochmal zu Gauß:
Gauß war ein Mathematiker von solcher ungeheurer Universalität, dass höchstens noch der legendäre David Hilbert an ihn heranreichte. Du wirst später noch mehr von Gauß kennenlernen, etwa den Gauß´schen Algorithmus, die Normalverteilung, das Fehlerintegral und so weiter. Den Gauß´schen Algorithmus allerdings hat entgegen weit verbreiteter Meinung nicht Gauß selbst entwickelt, er hat ihn nur "salonfähig" gemacht. Ursprünglich tauchte dieser Algorithmus schon im 9. Jahrhundert n. Chr. in einem chinesichen Lehrbuch namens "Neun Bücher arithmetischer Technik" auf.
Gauß selbst hatte Zeit seines Lebens nie etwas auf Vorlesungen an der Universität gehalten, als seinem "Sponsor" dem Fürsten das Geld ausging mußte Gauß eben solche Vorlesungen abhalten und war darüber so ungehalten, dass er so schwierige Vorlesungen hielt und ihm nur 2-3 Studenten folgen konnten, trotzallem war er aber ein sehr angenehmer Zeitgenosse. Einer von Gauß´ Schülern war Bernhard Riemann, der den modernen Integral begriff prägte und streng mathematisch begründete.
Viele Grüße
Oliver
P.S.: Niels, nein Universitäts-Niveau ist das ganz sicher nicht! |
Michi
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Juli, 2000 - 13:07: |
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Hi Oliver
Ich vermute doch, dass ich all die schönen Themen in der Schule leider nicht kennenlernen werde, da ich auf einem Wirtschaftsgymnasium bin und wir auch im LK nicht an das Niveau eines allgemeinbildenden Gymnasiums herankommen werden.
Aber vielleicht im Studium, wobei mein Mathelehrer mir erzählte, dass die Mathematik an der Uni nicht mit der Schulmathematik vergleichbar sei.
An der Uni käme Satz, Beweis und wieder neuer Satz und Beweis......
Allerdings ist mein Mathelehrer auch Diplom-Physiker und seine liebe zur Physik ist dementsprechend auch viel größer als zur Mathematik.
Bist Du auch noch Schüler? |
Michi
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Juli, 2000 - 13:11: |
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Ach ja
mein Lehrer schwärmt mir auch immerwieder von der
"Gauß'schen Gammafunktion" vor, die aber wie er meint seit Jahren nicht mehr in der Schule vorkommen würden.
Weißt Du was das ist? |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Juli, 2000 - 18:17: |
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Hi Michi,
das Prinzip der Gammafunktion ist die Frage, welche Funktion Werte von Fakultäten, z.B. 0!=1 und 1!=1, 2!=2 und 3!=6 usw. annimmt.
Leonhard Euler war der erste, der so eine Funktion durch ein sog. "uneigentliches Integral" angeben konnte, Gauß zog später mit seiner Definition nach, die das Problem etwas besser löst als die Lösung von Euler. Eine genaue Vorstellung von den Funktionen spare ich mir hier, erstens weil ich selbst nicht genau darin eingearbeitet bin und zweitens weil ich nicht weiß wie weit Du schon mathematisch vorgedrungen bist (Klasse 11?).
Den Gauß´schen Algorithmus wirst Du auch auf dem WG kennenlernen, egal ob LK oder GK, dies fällt in das Teilgebiet der "Linearen Algebra".
Übrigens, ich bin selbst noch Schüler, und zwar auch auf einem WG. (K13)
Viele Grüße
Oliver |
Michi
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Juli, 2000 - 19:44: |
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Hi Oliver
Das hätte ich ja echt nicht gedacht, dass Du auch auf dem WG bist, so Klasse wie Du dich in Mathematik auskennst.
Ich bin übrigens jetzt gerade mit Klasse 11 fertig und habe Physik als LK gewählt, weil wir dort einen super Lehrer haben, der den Schülern sehr hilft und darauf achtet, dass jeder Einzelne mikommt im Stoff (er hat sogar schon Mal einem Schüler kostenlos Nachhilfe gegeben, der eine ganze Weile krank war und sich selbst nicht in den neuen Stoff einarbeiten konnte).
Mahthe macht mir zwar mehr Spaß, aber dort läßt einen der LK-Lehrer eher hängen, wenn man nicht ganz mitkommt.
Ich bin in Baden Württemberg auf einem WG und die Lehrer bei uns sagen, dass unser Stoff in Mathe doch um Einiges einfacher sei als auf dem allgemeinen Gymnasium (außer im Thema Analysis!).
Was sind da denn Deine Erfahrungen?
Du besuchst doch sicher den Mathe-LK, kannst Du mir denn so die Unterschiede zum Grundkurs erklären?
Mein Mathelehrer meinte, der einzige Unterschied sei, dass man im 5 wochenstündigen LK sich eben auch den Herleitungen widmen kann im Gegensatz zum 3 stündigen GK.
Und die Stochastik wird Ende 13 mal angeschnitten, die im GK gar nicht auftaucht.
Wie ist das bei euch?
Grüße
Michi |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. August, 2000 - 12:14: |
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Hi Michi,
zunächst mal Dank für das nette Kompliment. ;-)
Der Schulstoff im Fach Mathematik variiert von Bundesland zu Bundesland, in Niedersachsen ist es am einfachsten, in Bayern am schwersten, mittlerweile ziehen auch andere Bundesländer in punkto Schwierigkeitsgrad nach, auch Baden-Württemberg und NRW. Ich habe bei mir ein paar Abiturprüfungen Mathematik (LK/GK) aus Baden-Württemberg - die sind wirklich nicht einfach.
Der Stoff LK-GK unterscheidet sich prinzipiell nicht durch sehr viele Dinge, im LK wird mehr bewiesen und eine strengere Definition der Themengebiete geliefert. Auch Rotationskörper und Sin/Cos-Funktionen bleiben eigentlich den GK´lern erspart, ebenso Analytische Geometrie und Stochastik. Natürlich sind die Arbeiten schwieriger und der Schüler ist angewiesen, sich entsprechende mathematische Sachverhalte selbst zu erarbeiten.
Das ich, wie Du so schön sagt, so viel über Mathematik weiß, liegt daran, dass ich mich sehr dafür interessiere. Es ist eine imponierende Wissenschaft, oder wie mal P. Halmos schrieb:
"Mathematics ist security. Certainty. Truth. Beauty. Insight. Structure. Architecture."
Beste Grüße sendet
Oliver |
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