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Beitrag |
    
Ferdinand F.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 20:42: | 
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Hallo,
Bei der folgenden Aufgabe finde ich keinen Ansatz und
ich wäre für Hilfen sehr dankbar.
Die Aufgebe lautet
Man drücke das bestimmte Integral mit unterer Grenze
a, oberer Grenze b (a<b) und dem Integrand
f(x) dx = (x -a) ^ m * (b - x) ^ n dx , m > -1 , n > - 1
mit Hilfe der Gammafunktion aus.
Besten Dank im voraus
Ferdinand F.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 22:11: |
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Hi Ferdinand,
Im gegebenen Integral substituieren wir mittels
einer linearen Funktion u = L(x) so, dass
die neuen Grenzen null und eins statt a und b
lauten.
Geeignet dazu ist die Substitution
u = 1/(b-a) * [x – a]
Dies wird null für x = a und eins für x = b.
Ferner gilt
du = 1/(b-a)*dx , also dx = (b-a)*du
weiterhin :
(x-a) = (b-a)*u und
(b-x) = (b-a)*(1-u)
Aus dem Integrand
f(x) dx = (x –a) ^m * (b - x)^n *dx
wird neu:
(b-a)^m * u^m* (b-a)^n * (1-u)^n (b-a) * du, also :
J = (b-a) ^ (m+n+1) * int [u ^ m * (1 - u) ^ n * du ]
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Dies ist das gesuchte, transformierte Integral
untere Grenze u = 0 , obere Grenze u = 1.
Jetzt wird das Eulersche Integral erster Gattung ,die
Betafunktion B(p,q) , beigezogen
B(p , q) = int [x^(p-1) * (1-x)^(q-1) * dx ] , (p>0,q>0)
untere Grenze 0 , obere Grenze 1.
Identifikation:
p = m + 1 , q = n + 1.
Mit Hilfe der Gammafunktion G(p)
(Eulersches Integral zweiter Gattung)
G(p) = int [e ^ (-x) * x^(p-1) * dx ] ,(p>0) ,
untere Grenze 0 ,obere Grenze unendlich,
kann B(p,q) auch so geschrieben werden:
B(p,q) = [G(p) * G(q) ] / [G( p + q ) ] .
Unser Integral lautet mittels der Gammafunktion :
J = (b-a)^(m+n+1) *[G(m+1)* G(n+1)] / [G( m+n+2] .
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Man denke an die Voraussetzungen:
a>b, m>-1 , n > -1
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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