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Rekursives Integral

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b.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 08:09:   Beitrag drucken

Hi!
Ich habe folgenden Ausdruck zu integrieren:
für n = 0,1,2,3,4
yn := (bestimmte Integral von 0 bis 1) x^n/(x + 5)dx
unter Ausnutzung der Rekursionformel:
yn + 5yn-1 = 1/n , für n >= 1,

Also, y0 kann ich integrieren das ist dann ln(1.2)
und kann dan y1, y2, y3, y4 mit Hilfe der Rekursionsformel berechnen.
Aber wie kann ich die Rekursionsformel beweisen?
Ich hab leider keinen Ansatz.
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 15:10:   Beitrag drucken

Hi b.

Zuerst zerlegen wir den Integrand fn(x) = x ^ n / ( x + 5 )
in ein Polynom vom Grad (n-1) und eine gebrochene rationale
Funktion mit konstantem Zähler Cn und dem gleichen Nenner
( x + 5 ) ; wir illustrieren diesen Gedanken an den Beispielen
n = 3 , 4 und 5,
Für n = 3 kommt:
x ^ 3 / (x + 5) = x ^ 2 - 5 * x + 25 – 125 / (x + 5)
Für n = 4 kommt:
x ^ 4 / (x + 5) = x ^ 3 - 5 * x ^ 2 + 25 * x – 125 + 625 / (x + 5)
Für n = 5 kommt:
x ^ 5 / (x + 5) = x^4 - 5*x^3 + 25*x^2 –125*x +625 -3125 /(x + 5)

allgemein gilt, zunächst mit fallenden Potenzen in x auf der
rechten Seite.
x^n / (x + 5) = x^(n-1) - 5*x^(n-2) + 5^2*x^(n-3) - ...
.............. +(-1)^ (n-1)*5^(n-1) + (-1)^n * 5^n / (x + 5)
Diese Formel kann durch vollständige Induktion
(Schluss von n auf n+1) bewiesen werden.

Durch gliedweise Integration finden wir eine Stammfunktion
Fn(x) von fn(x) :
Fn(x) = 1/n*x^n – 5 /(n-1)*x^(n-1) +..
.......+(-1)^ (n-1)*5^(n-1) * x + (-1)^n * 5^n * ln (x + 5)
Nun Ermitteln wir durch Einsetzen der oberen Grenzen 1 und
der untern Grenze 0 das gesuchte bestimmte Integral ,
das wir mit J(n) bezeichnen.
Es gilt:
J(n) = 1/n – 5/(n-1)+....+(-1)^(n-1)*5^(n-1) + (-1)^n *5^n *ln(6/5)
Daraus
J(n-1)=1/(n-1)– 5/(n-2)+....+(-1)^(n-2)*5^(n-2) + (-1)^(n-1)*5^(n-1)*ln(6/5)

Bildet man den Term T(n) = J(n) + 5* J(n-1) , so findet man leicht:
T(n) = 1 / n , was zu zeigen war.
°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.







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Orion (Orion)
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Junior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 16:11:   Beitrag drucken

Hm...

Sei y_n := int[0..1]x^n/(x+a) dx.

Wie wäre es mit folgender Variante :

x^n + a x(n-1) = x^(n-1)(x+a) ==>



y_n + a y_(n_1) = int[0..1]x^(n-1) dx = 1/n.

mfg

Orion






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Orion (Orion)
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Junior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 16:14:   Beitrag drucken

Hm...

Sei y_n := int[0..1]x^n/(x+a) dx.

Wie wäre es mit folgender Variante :

x^n + a x(n-1) = x^(n-1)(x+a) ==>



y_n + a y_(n-1) = int[0..1]x^(n-1) dx

= 1/n.

mfg

Orion






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