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b.
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 08:09: |
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Hi! Ich habe folgenden Ausdruck zu integrieren: für n = 0,1,2,3,4 yn := (bestimmte Integral von 0 bis 1) x^n/(x + 5)dx unter Ausnutzung der Rekursionformel: yn + 5yn-1 = 1/n , für n >= 1, Also, y0 kann ich integrieren das ist dann ln(1.2) und kann dan y1, y2, y3, y4 mit Hilfe der Rekursionsformel berechnen. Aber wie kann ich die Rekursionsformel beweisen? Ich hab leider keinen Ansatz. |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 15:10: |
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Hi b. Zuerst zerlegen wir den Integrand fn(x) = x ^ n / ( x + 5 ) in ein Polynom vom Grad (n-1) und eine gebrochene rationale Funktion mit konstantem Zähler Cn und dem gleichen Nenner ( x + 5 ) ; wir illustrieren diesen Gedanken an den Beispielen n = 3 , 4 und 5, Für n = 3 kommt: x ^ 3 / (x + 5) = x ^ 2 - 5 * x + 25 – 125 / (x + 5) Für n = 4 kommt: x ^ 4 / (x + 5) = x ^ 3 - 5 * x ^ 2 + 25 * x – 125 + 625 / (x + 5) Für n = 5 kommt: x ^ 5 / (x + 5) = x^4 - 5*x^3 + 25*x^2 –125*x +625 -3125 /(x + 5) allgemein gilt, zunächst mit fallenden Potenzen in x auf der rechten Seite. x^n / (x + 5) = x^(n-1) - 5*x^(n-2) + 5^2*x^(n-3) - ... .............. +(-1)^ (n-1)*5^(n-1) + (-1)^n * 5^n / (x + 5) Diese Formel kann durch vollständige Induktion (Schluss von n auf n+1) bewiesen werden. Durch gliedweise Integration finden wir eine Stammfunktion Fn(x) von fn(x) : Fn(x) = 1/n*x^n – 5 /(n-1)*x^(n-1) +.. .......+(-1)^ (n-1)*5^(n-1) * x + (-1)^n * 5^n * ln (x + 5) Nun Ermitteln wir durch Einsetzen der oberen Grenzen 1 und der untern Grenze 0 das gesuchte bestimmte Integral , das wir mit J(n) bezeichnen. Es gilt: J(n) = 1/n – 5/(n-1)+....+(-1)^(n-1)*5^(n-1) + (-1)^n *5^n *ln(6/5) Daraus J(n-1)=1/(n-1)– 5/(n-2)+....+(-1)^(n-2)*5^(n-2) + (-1)^(n-1)*5^(n-1)*ln(6/5) Bildet man den Term T(n) = J(n) + 5* J(n-1) , so findet man leicht: T(n) = 1 / n , was zu zeigen war. °°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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Orion (Orion)
Junior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 16:11: |
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Hm... Sei y_n := int[0..1]x^n/(x+a) dx. Wie wäre es mit folgender Variante : x^n + a x(n-1) = x^(n-1)(x+a) ==> y_n + a y_(n_1) = int[0..1]x^(n-1) dx = 1/n. mfg Orion
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Orion (Orion)
Junior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 16:14: |
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Hm... Sei y_n := int[0..1]x^n/(x+a) dx. Wie wäre es mit folgender Variante : x^n + a x(n-1) = x^(n-1)(x+a) ==> y_n + a y_(n-1) = int[0..1]x^(n-1) dx = 1/n. mfg Orion
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