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Beitrag |
    
Philipp G.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. März, 2002 - 12:52: | 
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Hallo,
Schon wieder !
Für die Berechnung der folgenden Integrale brauche ich Hilfe.
Die Aufgabe lautet:
Man berechne (von Hand) für m = 1 und m = 2 die Integrale
J(m) mit f(x) als Integrand, untere Grenze 0,obere Grenze unendlich ,
wobei
f(x) = x ^(2*m-1) / [(1 + x ^ 2) * (1+x^(2m)) ^ 2] gilt.
Danke im voraus !
Philipp G.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. März, 2002 - 16:09: |
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Hi Philipp,
1.Fall : m=1
J(1) = int [x / (1+x^2) ^3 * dx],
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich.
Ermittlung einer Stammfunktion F(x) durch Substitution:
1+x^2 = z^2; x * dx = z * dz ,
F:= int [dz / z^5] = - ¼ *1/z^4 = - ¼ * 1/ (1+x^2)^2
Setzt man die Grenzen ein, so erhält man als Resultat:
J(1) = ¼
°°°°°°°°
2.Fall : m = 2
J(2) = int [ x ^ 3 / {(1 + x ^ 2) * (1+ x ^ 4)^2} *dx ]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich.
Zur Ermittlung einer Stammfunktion F(x) führen wir zuerst
eine Substitution aus:
Wir setzen x^2 = u , x * dx = ½ *du ; aus dem unbestimmten
Integral in x wird ein ebensolches in u:
F = ½ * int[ u / {(1+u ) * (1+ u ^2 ) ^2} *du ]
Nun zerlegen wir den Integranden
g(u) = u /{(1+u ) * (1+ u ^2 ) ^2} in Partialbrüche
Dazu dient der Ansatz:
g(u) = A / (1+u)+(B*u+C) / (1+u^2) + (D*u ^ 2+ E*u) / (1+ u^2) ^ 2
gleichnamig machen der Brüche rechts führt beim
Koeffizientenvergleich auf die folgenden Gleichungen
A+B = 0 , B+C+D = 0, 2*A+B+C +D+E = 0 , B+C+E = 1 ,
A+C = 0, daraus
A= - ¼ , B = C = ¼ , D= -1/2 , E = ½
Somit kann der Integrand g(u) auch so geschrieben werden.
g(u)= - ¼ /(1+u)+( ¼ u+¼ ) /(1+u^2)+(- ½ u ^ 2+ ½ u) /(1+ u^2) ^ 2
als unbestimmtes Integral von g(u) notieren wir:
F = G(u) = - ¼ * ln (1+u) + 1/8 ln(1+u^2) + 1 / 4 * (u-1) / (1+u^2)
Nun machen wir die Substitution rückgängig,vergessen nicht den
Faktor ½ vor dem Integral bei F und erhalten:
F = - 1/8* ln (1+x^2) + 1/16 ln(1+x^4) + 1/8 * (x^2-1) / (1+ x^4)
Bevor wir die Grenzen x = 0 und x = unendlich einsetzen,
formen wir die logarithmischen Terme gemäss der
Log.-Gesetze um, und zwar so, dass beim ln mit dem Faktor
–1/8 der Faktor -1/16 erscheint.
Zum Ausgleich ist (1+x) unter dem ln zu quadrieren ;
der geänderte Term passt dann zum andern Log-Term
und kann mit ihm verwoben werden......
Setzt man die Grenzen ein, so erhält man das Resultat
J(2) = 1/8
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Eine weiterführende Untersuchung zeigt, dass offenbar die Formel gilt:
J(m) = 1 / ( 4 * m )
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MfG
H.R.Moser,megamath
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