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mirt
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 20:49: | 
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Hallo!
Ich bräuchte Eure hilfe bei folgenden Beispielen:
Die folgenden Kegelschnitte sind durch Drehung S(det S= 1) des Koordinatensystems auf Hauptachsenform zu transformieren.
a) 4x^2 + 4xy + y^2 - x + y = 1
b) 4x^2 + 4xy + y^2 - x + 2y = 1 (Parabel)
c) 4x^2 + 4xy + y^2 + 2x + y = 1 (parallele Geraden)
Bei a) und c) soll noch eine passende Translation berechnet werden.
Wäre für Eure Hilfe sehr dankbar!
mfg, Mario |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. März, 2002 - 08:27: |
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Hi Mario,
wir nehmen die Teilaufgabe c) in Angriff und
bearbeiten die linke Seite der Gleichung rein algebraisch,
indem wir sie in Faktoren zerlegen.
Wir erhalten der Reihe nach
(2x + y)^2 + 2x + y = 1
(2x + y) * [2x + y +1] = 1
Die Struktur der linken Seite weist den Kenner darauf hin, dass
ein Parallelgeradenpaar vorliegt.
Wäre die rechte Seite null, wären wir mit der Aufgabe fertig.
Jede der Klammern links könnte für sich null gesetzt werden
und wir hätten je eine Geradengleichung vor uns. (Ende der Konjunktive !)
Auf jeden Fall erkennt man die Steigung m der parallelen Geraden;
es ist m = - 2.
Nötig wird eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems.
Der neue Nullpunkt wird mit Z bezeichnet.
Wir wählen Z so, dass dieser Punkt ein Symmetriezentrum
der Konfiguration der parallelen Geraden wird.
Wir schneiden das Geradenpaar mit der x -Achse.
Die Schnittpunkte seien S1 und S2 , Z ist der Mittelpunkt
der Strecke S1 S2.
Ausführung
Setze y = 0 und löse nach x auf:
4 * x^2 + 2*x – 1 = 0
Lösungen x1= ¼(-1+wurzel(5)), x2 = ¼(-1+wurzel(5)),
Als Mittelpunkt der Strecke S1 S2 hat Z die Koordinaten
xZ = ½(x1+x2) = - ¼ , yZ = 0
Durch Z legen wir die neuen Koordinatenachsen X,Y ,
je parallel zur x- bezw. zur y-Achse.
Die Transformationsgleichungen lauten::
x = X - ¼ , y = Y
De Gleichung des Geradenpaars lautet im neuen System :
4*X^2 +4*X*Y + Y^2= 5/4………………………………….(1)
Beachte : Bei einer Parallelverschiebung ändert sich die
quadratische Form des Kegelschnitts nicht, hingegen
verschwinden die linearen Terme und es entsteht eine neue
Konstante rechts.
Im neuen System wird nun alles völlig durchsichtig
Wir schreiben (1) so um:
(2*X +Y ) ^2 = 5/4..................................................................(2)
Diese Gleichung zerfällt durch Radizieren in zwei lineare
Gleichungen:
2*X +Y = ½ * wurzel (5) und ...........................................................(3a)
2*X +Y = - ½ * wurzel (5)…………………………………………..(3b)
Jede Gleichung stellt eine Gerade p bezw. q je mit der Steigung
m1 = - 2 dar.
Die dazu senkrechte Gerade durch den Nullpunkt des
(X,Y)- Koordinatensystems wählen wir als Achse u eines
um den Winkel alpha gedrehten (u,v)-Koordinatensystems.
Aus der Steigung m2 = - 1 / m1 = ½ = tan (alpha) berechnen wir
cos (alpha) = 1 / wurzel [1+ (tan alpha)^2] = 2 /wurzel(5)
sin(alpha) = tan(alpha) * cos(alpha) = 1 / wurzel(5)
Damit erhält man die Drehformeln:
X = u* cos(alpha) – v * sin(alpha) = u * 2/wurzel(5) – v * 1/wurzel(5)
Y = u* sin(alpha) + v * cos(alpha) = u * 1/wurzel(5) + v * 2/wurzel(5)
Dies setzen wir in (3a) und (3b) ein und erhalten die Schlussformen
der Gleichungen der Geraden p und q im (u,v)-System:
wurzel(5) * u = ½ * wurzel (5) und
wurzel(5) * u = - ½ * wurzel (5) oder
u = ½ und u = - ½ (einfacher geht es wohl nicht mehr!)
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Die Geraden p und q sind zur v-Achse parallel,
ihr Abstand ist gleich eins.
Damit ist die Teilaufgabe c) vollständig gelöst !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. März, 2002 - 16:27: |
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Hi Mario,
Es folgt die Lösung der Teilaufgabe b)
Die allgemeinen Gleichung zweiten Grades in x lautet
A x ^ 2 + 2 B x y + C y ^ 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0,
Für A = 4 , B = 2 , C = 1, D = - ½ , E = 1 , F = - 1 entsteht
die gegebene Gleichung, welche in dieser Teilaufgabe
zu analysieren ist.
Die Determinante delta = A*C – B^2 entscheidet darüber,
welcher Typus Kegelschnitt vorliegt.
Für delta > 0 haben wir es mit einer Ellipse zu tun,
für delta < 0 mit einer Hyperbel.
Im vorliegenden Fall gilt
delta = 0 , daher handelt es sich bei der Gleichung um eine
Parabel , welche übrigens NICHT wie bei der Teilaufgabe c)
in ein Geradenpaar ausgeartet ist.
Die Achsenrichtung ergibt sich bei allen Kegelschnitten mit
der Formel
tan (2*alpha) = 2*B / ( A – C ) .
Dabei stellt alpha den Richtungswinkel einer Hauptachse
des Kegelschnitts dar.
In unserem Fall entsteht
tan (2*alpha) = 4 / 3
Mit der Doppelwinkelformel des Tangens berechnen wir die
Steigung m = tan (alpha ) der Parabelachse; das geht so:
tan (2*alpha) = 2 * tan (alpha) / [1.+ {tan(alpha)}^2 ], also
4/3 = 2*m / [1 - m^2],
nach kurzer Rechnung folgt daraus m = ½.
Die Ursprungsgerade mit dieser Steigung m = ½ wählen wir als
Achse u, die dazu senkrechte Gerade v mit der Steigung –2
als v-Achse eines neuen, um den Winkel alpha gedrehten
Koordinatensystems.
Aus tan (alpha ) = ½ folgt wie bei der Teilaufgabe c) :
cos (alpha) = 1 / wurzel [1+ (tan alpha)^2] = 2 /wurzel(5)
sin(alpha) = tan(alpha) * cos(alpha) = 1 / wurzel(5)
Damit erhält man die Drehformeln:
x = u* cos(alpha) – v * sin(alpha) = u * 2/wurzel(5) – v * 1/wurzel(5)
y = u* sin(alpha) + v * cos(alpha) = u * 1/wurzel(5) + v * 2/wurzel(5)
Dies setzen wir in die gegebene Gleichung ein ; wir erhalten
als Gleichung der Parabel im (u,v)-System nach einiger Rechnung:
5 * u^2 + wurzel(5) * v = 1....................................................................(1)
Die Auflösung dieser Gleichung nach v ergibt eine einfache
quadratische Funktion in der Variablen u, nämlich
v = - 5/wurzel(5) * u^2 + 1/wurzel(5)
Da in diese Funktionsgleichung kein linearer Term in u vorkommt,
ist die Kurve zur v-Achse symmetrisch, d.h. die v-Achse ist
zugleich Parabelachse
Der Scheitel S der Parabel hat im (u,v)-System die Koordinaten
uS = 0 , vS = 1 / wurzel(5)
Die Parabel ist nach unten offen und schneidet die u-Achse in den Punkten
mit den Koordinaten
u = (+ -) 1/wurzel(5), v = 0.
Damit ist diese Parabel zur Genüge identifiziert !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 08:18: |
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Hi Mario,
Lösung der Teilaufgabe a)
Bei allen drei Teilaufgaben tritt dieselbe quadratische Form auf.
Daher führt eine und dieselbe Drehung bei allen Aufgaben zum Ziel.
Wir verwenden also auch hier die bekannten Drehformeln
x = u * 2/wurzel(5) – v * 1/wurzel(5)
y = u * 1/wurzel(5) + v * 2/wurzel(5)
Dies setzen wir in die gegebene Gleichung ein ; wir erhalten
als Gleichung der Parabel im (u,v)-System nach einiger Rechnung:
5 * u^2 – 1 / wurzel(5) * u + 3 / wurzel(5) * v = 1
Wir lösen diese quadratische Funktion in u nach v auf:
v = - 5 * wurzel(5) / 3 * u^2 + 1/3 * u + wurzel(5) / 3
v = v (u) stellt eine Parabel dar, deren Achse parallel zur v –Achse
verläuft.
Wir ermitteln die Koordinaten uo , vo des Scheitels S dieser Parabel,
indem wir v = v(u) nach u ableiten; die Nullstelle dieser Ableitung
v´(u) ist der u-Wert uo des gesuchten Scheitels.
Wir erhalten:
v´= - 10* wurzel(5) / 3 * u + 1/3 ; daraus durch Nullsetzen:
uo = 1 / (10*wurzel(5) ); setzt man diesen Wert in die Parabelgleichung
v = v(u) ein, so kommt nach fleissiger Rechnung für vo:
vo = 101/300 * wurzel(5).
Daraus folgt die Scheitelgleichung der Parabel im (u,v)-Koordinatensystem:
v-vo = (- 5 * wurzel(5) / 3 )) * ( u – uo) ^ 2 mit den angeschriebenen Werten für uo und vo.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 09:18: |
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Hi Mario,
Es folgen noch einige zusätzliche Bemerkungen
1)
Mit Hilfe einer dreireihigen Determinante Delta
lässt sich feststellen, ob der zu untersuchende Kegelschnitt
allenfalls in ein Geradenpaar zerfällt .
Diese Determinante wird mittels der früher genannten
Koeffizienten A, B, C, D, E, F zeilenweise so aufgebaut:
Delta = det ([[A,B,D],[B,C,E],[D,E,F]])
Ist Delta von null verschieden, so liegt ein eigentlicher Kegelschnitt vor,
andernfalls zerfällt der Kegelschnitt.
Anwendung auf die Teilaufgabe c)
Mit A = 4, B = 2 , C = 1 , D = 1 , E = ½ , F = - 1 kommt
Delta = 0 ; für die beiden anderen Teilaufgaben erhält man
hingegen Delta-Werte, welche von null verschieden sind.
2)
Um dem Titel „Matrizen“ gerecht zu werden, berechnen wir die
Drehmatrix S mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren
der gegebenen quadratischen Form fürt A = 4, B = 2 , C = 1
charakteristisches Polynom: t^2 – 5 t
Eigenwerte: t1 = 5 , t2 = 0
Eigenvektoren ,als Einheitsvektoren:
zu t1 = 5: e1= 1/ wurze(5)*{2 ;1}
zu t2 = 0: e2= 1/ wurze(5)*{-1;2}
Verwendet man die Vektoren e1 und e2 als Spaltenvektoren
einer Matrix, so erhält man die gesuchte orthogonale Matrix S,
welche die Drehung bewirkt.
Sie wurde in den obigen Berechnungen mehrmals eingesetzt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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