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mirt
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 20:45: | 
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Hallo!
Ich bräuchte Eure hilfe bei folgenden Beispielen:
Die folgenden Kegelschnitte sind durch Drehung S(det S= 1) des Koordinatensystems auf Hauptachsenform zu transformieren.
a) 4x^2 + 4xy + y^2 - x + y = 1
b) 4x^2 + 4xy + y^2 - x + 2y = 1 (Parabel)
c) 4x^2 + 4xy + y^2 + 2x + y = 1 (parallele Geraden)
Bei a) und c) soll noch eine passende Translation berechnet werden.
Wäre für Eure Hilfe sehr dankbar!
mfg, Mario |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. März, 2002 - 08:20: |
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Hi Mario,
wir nehmen die Teilaufgabe c) in Angriff und
bearbeiten die linke Seite der Gleichung rein algebraisch,
indem wir sie in Faktoren zerlegen.
Wir erhalten der Reihe nach
(2x + y)^2 + 2x + y = 1
(2x + y) * [2x + y +1] = 1
Die Struktur der linken Seite weist den Kenner darauf hin, dass
ein Parallelgeradenpaar vorliegt.
Wäre die rechte Seite null, wären wir mit der Aufgabe fertig.
Jede der Klammern links könnte für sich null gesetzt werden
und wir hätten je eine Geradengleichung vor uns. (Ende der Konjunktive !)
Auf jeden Fall erkennt man die Steigung m der parallelen Geraden;
es ist m = - 2.
Nötig wird eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems.
Der neue Nullpunkt wird mit Z bezeichnet.
Wir wählen Z so, dass dieser Punkt ein Symmetriezentrum
der Konfiguration der parallelen Geraden wird.
Wir schneiden das Geradenpaar mit der x -Achse.
Die Schnittpunkte seien S1 und S2 , Z ist der Mittelpunkt
der Strecke S1 S2.
Ausführung
Setze y = 0 und löse nach x auf:
4 * x^2 + 2*x – 1 = 0
Lösungen x1= ¼(-1+wurzel(5)), x2 = ¼(-1+wurzel(5)),
Als Mittelpunkt der Strecke S1 S2 hat Z die Koordinaten
xZ = ½(x1+x2) = - ¼ , yZ = 0
Durch Z legen wir die neuen Koordinatenachsen X,Y ,
je parallel zur x- bezw. zur y-Achse.
Die Transformationsgleichungen lauten::
x = X - ¼ , y = Y
De Gleichung des Geradenpaars lautet im neuen System :
4*X^2 +4*X*Y + Y^2= 5/4………………………………….(1)
Beachte : Bei einer Parallelverschiebung ändert sich die
quadratische Form des Kegelschnitts nicht, hingegen
verschwinden die linearen Terme und es entsteht eine neue
Konstante rechts.
Im neuen System wird nun alles völlig durchsichtig
Wir schreiben (1) so um:
(2*X +Y ) ^2 = 5/4..................................................................(2)
Diese Gleichung zerfällt durch Radizieren in zwei lineare
Gleichungen:
2*X +Y = ½ * wurzel (5) und ...........................................................(3a)
2*X +Y = - ½ * wurzel (5)…………………………………………..(3b)
Jede Gleichung stellt eine Gerade p bezw. q je mit der Steigung
m1 = - 2 dar.
Die dazu senkrechte Gerade durch den Nullpunkt des
(X,Y)- Koordinatensystems wählen wir als Achse u eines
um den Winkel alpha gedrehten (u,v)-Koordinatensystems.
Aus der Steigung m2 = - 1 / m1 = ½ = tan (alpha) berechnen wir
cos (alpha) = 1 / wurzel [1+ (tan alpha)^2] = 2 /wurzel(5)
sin(alpha) = tan(alpha) * cos(alpha) = 1 / wurzel(5)
Damit erhält man die Drehformeln:
X = u* cos(alpha) – v * sin(alpha) = u * 2/wurzel(5) – v * 1/wurzel(5)
Y = u* sin(alpha) + v * cos(alpha) = u * 1/wurzel(5) + v * 2/wurzel(5)
Dies setzen wir in (3a) und (3b) ein und erhalten die Schlussformen
der Gleichungen der Geraden p und q im (u,v)-System:
wurzel(5) * u = ½ * wurzel (5) und
wurzel(5) * u = - ½ * wurzel (5) oder
u = ½ und u = - ½ (einfacher geht es wohl nicht mehr!)
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Die Geraden p und q sind zur v-Achse parallel,
ihr Abstand ist gleich eins.
Damit ist die Teilaufgabe c) vollständig gelöst !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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