    
Pascal (Prolli)
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Benutzername: Prolli
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 19:11: | 
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Vor kurzem bin ich auf die folgende Gleichung gestossen:
tan(3Pi/11) + 4 * sin(2Pi/11) = sqrt(11)
Natürlich wollte ich die Gleichung beweisen, jedoch misslang bisher jeder Versuch.
Hat einer von euch da eine Idee wie das gehen könnte...? |
Orion (Orion)
Neues Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. März, 2002 - 10:49: |
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Hallo Pascal:
Mein nachfolgender Beweis ist nicht sehr
elegant , vielleicht hat jemand einen besseren Einfall und kommt ohne Einheitswurzeln aus.
Wir setzen z:= exp(i*pi/11) , dann ist
z^11+1 = 0. Kürzt man daraus den Faktor
(z+1) , so bleibt
z^10 - z^9 + z^8 - + ... -z+1 = 0.
Man führt ein
w := z + 1/z = 2*cos(pi/11)
und erhält für w die Polynomgleichung 5.Grades
f(w):= w^5-w^4-4w^3+3w^2+3w-1 = 0.
Andererseits lässt sich mittels der Verdoppelungs- und Verdreifachungsformeln für cos und sin die linke Seite der zu beweisenden Gleichung durch cos(pi/11),also durch w ausdrücken. Wenn man mit dem Nenner erweitert und quadriert, so erhält man
mit etwas Geduld (rechne nach !) die zur Behauptung äquivalente Gleichung
g(w) := w^10-9w^8+28w^6-35w^4+15w^2-1=0
Wunderbarerweise zeigt sich, dass g(w) den Faktor f(w) enthält :
g(w) = (w^5+w^4-4w^3-3w^2+3w+1)*f(w),
also ist g(w) = 0 , Q.E.D.
mfg
Orion
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