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Beitrag |
    
Philipp G.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 10:21: | 
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Hallo,
Zur Berechnung der folgenden Integrale benötige ich Hilfe
Die Aufgabe lautet:
Man berechne (von Hand) für m = 0 , 1 , 2 , 3 die Integrale
I(m) = int ( dx / [(1+x^2) * (1+x^m)] )
die untere Grenze ist 0 , die obere unendlich.
Danke im voraus !
Philipp
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Orion (Orion)
Neues Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 11:16: |
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Hallo Philipp:
Here is a dirty trick :
Substituiere x = 1/t , dann erkennst du, dass
I(m) = int[0..oo]{t^m/[(1/t^2)(1+t^m)] dt}
Addiere dies zum gegebenen Integral (in der
ursprünglichen Form) :
2I(m) = etwas wohlbekanntes.
mfg
Orion
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 14:00: |
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Hi Philipp G. ,
Vorspann : Wie üblich, hat Orion das Problem bravourös in
Minutenschnelle gelöst, und es gibt eigentlich nichts mehr
dazu zu sagen.
Ich kann mich allerdings nicht zurückhalten, doch noch
einen Beitrag zu Deinem Integralproblem zu leisten ;
es lohnt sich vielleicht für alle Beteiligten !
Die Beschäftigung mit diesen Integralen gibt eine ausgezeichnete
Uebungsgelegenheit und sorgt, wie wir bereits wissen (!), für
Ueberraschungen.
Den Einzelheiten der Berechnung seien einige Bemerkungen
allgemeiner Art vorangestellt.
Diese Ausführungen machen uns mit weitern Verwandten
(Vettern und Cousinen) des gegebenen Integrals bekannt
1.
Ausgiebig wird die Partialbruchzerlegung benötigt.
Die detaillierte Herleitung dieser Zerlegung wird an den Beispielen
m = 1 und m = 2 gezeigt.
2.
Die entsprechenden unbestimmten Integrale können als Summen
einer Arctan –Funktion und von Logarithmusfunktionen dargestellt werden
Die erstere erscheint stets in der Gestalt ½*arctanx , welche beim Einsetzen
der Grenzen 0 und unendlich den Beitrag Z = ¼ * Pi gibt,
während der Anteil der Log-Funktionen beim Einsetzen null ergibt.
3.
Konsequenz: Sämtliche Integrale ergeben dasselbe Resultat
Z = ¼ * Pi
4.
Vermutung: es gilt für alle natürlichen Zahlen m:
I(m) = int [ 1 / {(1 + x^2) * (1+x^m) } * dx ] = ¼ * Pi
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5.
Folgerung aus Punkt 4.
Mit der Substitution x = tan z , also z = arctan x ,
dz = dx / (1 + x^2)
geht das Integral I(m) in das folgende Integral T(m) über:
T(m) = int [dz /(1+ (tan z) ^m)] = ¼ * Pi
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untere Grenze 0, obere Grenze z = ½ *Pi ;gültig für alle m = 0,1,2,3,4,....
6.
Im Integral für I(m) leiten wir unter dem Integral nach dem Parameter m ab
und erhalten ein neues Integral W, das die Ableitung dI / dm von I(m) nach m
darstellt; da I eine Konstanze ist, ist diese Ableitung null.
Wir schreiben mithin
W = - int [ x^m * ln x /{(1+x^2)*(1+x^m)^2} * dx ] = 0
untere Grenze 0,obere Grenze x = unendlich ; gültig für alle m = 0,1,2,3,4,....
(Das Minuszeichen kann auch unterdrückt werden).
Achtung
x^m mit m als unabhängige Variable und x als Konstante stellt eine
Exponentialfunktion dar, die Ableitung nach m ist daher
x^m * ln x .
7.
Substitution im Intergral unter Punkt 6.
ln x = u , also x = e ^ u , dx = e ^ u * du ,
neues Integral
U = int [ u* e^(m*u+u) / {(1+e^(2*u))*(1+e^(m*u))^2} * du ] = 0
Grenzen im Integral U: untere Grenze minus unendlich, obere Grenze
plus unendlich.
Ersetzt man im Integranden f(u) von U die Variable u durch minus u , so geht
f(u) in – f(u) über, d.h. der Integrand ist bezüglich des Nullpunktes
zentralsymmetrisch.
Es ist daher nicht verwunderlich, dass das Integral U null ist.
Einzelheiten (Intensivtraining !) :
Behandlung der Fälle m = 1 und m = 2
a)
m=1:
I(1) = int [ 1 / {(1 + x^2) * (1+x) } * dx ]
Ansatz für die Partialbruchzerlegung von
f(x) =1 /{(1 + x^2) * (1+x) } = (Ax+B)/(1+x^2) + C/(1+x).; gleichnamig machen
der Brüche rechts führt mit dem Koeffizientenvergleich auf die Gleichungen
A+C = 0, A+B=0, B+C = 1 , daraus A = - ½ , B = ½ , C = ½ , somit
f(x) = (- ½ x + ½ )/ (1+x^2) + ½ /(1+x) ; als unbestimmtes Integral notieren wir:
F(x) = - ¼ *ln (1+x^2) + ½ *ln(1+x) + ½ * arctan(x);
Umformung der logarithmischen Terme
-¼ *ln (1+x^2) + ¼ *ln { (1+x)^2 } = ¼ *ln [(1+2 x + x^2)/(1+x^2)], mithin gilt
F(x) = ¼ *ln[(1+2 x + x^2)/(1+x^2)] + ½ * arctan(x);
Setzt man die Grenzen ein, so erhält man das angekündigte Resultat
I(1) = ¼ * Pi
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b)
m=2:
I(2) = int [ 1 / (1 + x^2) ^2 * dx ]
Ansatz für die Partialbruchzerlegung von
g(x) =1 /(1 + x^2) ^2 = (A + B*x + C*x^2) / (1+x^2)^2 + D/(1+x^2).; gleichnamig machen
der Brüche rechts führt mit dem Koeffizientenvergleich auf die Gleichungen
A+D = 1, B=0, C+D = 0 , daraus A = ½ , B = 0, C = - ½ , D = ½ somit
g(x) = ½ * (1-x^2) / (1+x^2)^2 + ½ /(1+x^2); als unbestimmtes Integral notieren wir:
G(x) = ½ * x / (1 + x ^ 2) ^ 2 + ½ * arctan(x);
Setzt man die Grenzen ein, so erhält man das angekündigte Resultat
I(2) = ¼ * Pi
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u.s.w.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Philipp G.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 16:00: |
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Hallo Orion
Hallo H.R.Moser,megamath
Ich danke euch beiden für die mustergültigen Lösungen
des Parameterintegrals.
Ich habe viel dabei gelernt !
MfG
Philipp G.
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