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Kein_Mathematiker
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. März, 2002 - 17:37: |
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Hallo,...ich habe ein Problem mit der Substitutionsregel. Mir liegt eine Aufgabe mit Musterlösung vor, bei der mir ein Schritt völlig unklar ist. Also Gesucht ist das Integral von: (12x^2)/(4x^3-1)dx Es soll mit der Substitutionsregel gelöst werden. daher, substituiere ich: z=4x^3-1 anschließend: z'=dz/dx=12x^2; daraus folgt: dx= 1/12x^2dz und nun weiss ich nicht weiter: Die Musterlösung sagt: 1/z*12x^3dz=ln z + c WARUM??? oder besser WIE??? Ich hoffe mir kann jemand helfen. Danke im Voraus.
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Orion (Orion)
Neues Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 07:54: |
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Hallo : Man erkennt, dass der Zähler des Integranden gleich der Ableitung des Nenners ist : 12x^2 = (d/dx)(4x^3 - 1) . Man hat es also mit einem Integral der form int f'(x)/f(x) dx = ln |f(x)| + C zu tun (sog. logarithmisches Integral). Somit ist int12x^2/(4x^3-1) dx = ln |4x^3 - 1| + C Beachte die Betragsstriche ! Zum selben Ergebnis gelangt man natürlich, wenn man formal substituiert: 4x^3 - 1 = z <==> x = [(z + 1)/4]^(1/3) ==> dx = (1/12)[(z+1)/4]^(-2/3). Das führt auf das Integral int (1/z)dz = ln |z| + C mfg Orion
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