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Substitutionsregel

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Kein_Mathematiker
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. März, 2002 - 17:37:   Beitrag drucken

Hallo,...ich habe ein Problem mit der Substitutionsregel. Mir liegt eine Aufgabe mit Musterlösung vor, bei der mir ein Schritt völlig unklar ist. Also

Gesucht ist das Integral von:

(12x^2)/(4x^3-1)dx
Es soll mit der Substitutionsregel gelöst werden.
daher, substituiere ich: z=4x^3-1
anschließend: z'=dz/dx=12x^2;
daraus folgt: dx= 1/12x^2dz
und nun weiss ich nicht weiter: Die Musterlösung sagt: 1/z*12x^3dz=ln z + c WARUM??? oder besser WIE???

Ich hoffe mir kann jemand helfen. Danke im Voraus.


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Orion (Orion)
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Neues Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 07:54:   Beitrag drucken

Hallo :

Man erkennt, dass der Zähler des Integranden
gleich der Ableitung des Nenners ist :

12x^2 = (d/dx)(4x^3 - 1) .

Man hat es also mit einem Integral der form

int f'(x)/f(x) dx = ln |f(x)| + C

zu tun (sog. logarithmisches Integral). Somit ist

int12x^2/(4x^3-1) dx = ln |4x^3 - 1| + C

Beachte die Betragsstriche !
Zum selben Ergebnis gelangt man natürlich,
wenn man formal substituiert:

4x^3 - 1 = z <==> x = [(z + 1)/4]^(1/3)

==> dx = (1/12)[(z+1)/4]^(-2/3).

Das führt auf das Integral

int (1/z)dz = ln |z| + C

mfg

Orion


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