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Beitrag |
    
Stephen (alin)
Neues Mitglied
Benutzername: alin
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Mai, 2003 - 18:10: | 
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Beweisen sie, dass die "DRITTE WURZELN AUS 25 IRRATIONAL" ist |
ICH (tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tux87
Nummer des Beitrags: 241
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Mai, 2003 - 19:05: |
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Indirekter Beweis:
Behauptung:
3.Wurzel 25 ist rational
Beweis:
rationale Zahlen lassen sich als Bruch darstellen
3.Wurzel(25)=p/q
25=p³/q³
25*q³=p³
25=5*5=5² (Primfaktoren)
5²*q³=p³
Damit das Produkt eine Kubikzahl wird, müssen die Primfaktoren der einzellnen Faktoren immer 3 mal vorhanden sein.
5²*q³=5²*m
der ggT des Terms ist nun min. 5 und eine irrationale Zahl hat immer den ggT 1!
^--> Wiederspruch
w.z.b.w.
mfG
ICH
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1285
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Mai, 2003 - 19:08: |
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Hi Stephen
Widerspruchsbeweis:
Angenommen
3. Wurzel aus 25=p/q
Wobei p und q ganze Zahlen sind und wir nehmen an der Bruch sei vollständig gekürzt, d.h. p und q sind teilerfremd.
Die Gleichung läßt sich umformen zu
25q³=p³
Die linke Seite ist durch 25 teilbar, also muss es auch die rechte sein. Da 25 keine Kubikzahl ist, muss p selbst durch 25 teilbar sein. Damit können wir schreiben:
p=25p'
q³=25²*(p')³
Gleiches Spielchen wie eben. Rechte Seite ist durch 25 teilbar, also muss es auch die linke, und damit q sein.
Zusammengefasst ergibt sich also, dass p und q durch 25 teilbar sind. Widerspruch zur Annahme, dass p und q teilerfremd sind.
MfG
C. Schmidt |
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