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sven (sven23)
Junior Mitglied
Benutzername: sven23
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 18:06: | 
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Hallo da draußen,
mir sind wieder zwei Aufgaben untergekommen, bei denen ich Eure Hilfe benötige:
1) a)Zu zeigen: Für jedes a aus C hat die Differentialgleichung (1+z)*f`(z) = a*f(z) genau eine in einer Umgebung von 0 in eine konvergente Potenzreihe entwickelbare Lösung f_a mit f_a(0) = 1, und zwar ist f_a(z)=[Summe n=0 bis unendl.] (a über n)*z^n. Welchen Konvergenzradius hat diese Reihe?
b) Es gibt genau eine in K_1(0) holomorphe Lösung g_a von obiger DGL mit g_a(0) = 1, und zwar g_a(z)=(1+z)^a (abs(z) < 1). Folgern Sie:
(1+z)^a = [Summe n=0 bis unendl.](a über n)*z^n (abs(z)<1)
Für alle a,b aus C und alle ganzen n>=0 ist
(a+b über n) = [Summe k=0 bis n](a über k)*(b über n-k)
2)Es seien x,y,a,b aus C, und die folge (a_n)n>=0 werde wie folgt definiert: a_0:= a, a_1:=b, a_n:= x*a_(n-1) + y*a_(n-2) für n>=2.
a) Die Potenzreihe f(z):=[Summe n=0 bis unendl.] a_n*z^n hat einen positiven Konvergenzradius R, und für abs(z) < R gilt: f(z) = (a+(b-x*a)*z)/(1-x*z-y*z^2).
b) Es seien a=0, x=y=b=1. Folgern Sie aus a) mit Hilfe des Identitätssatzes für Potenzreihen: Für n>=0 ist a_n = 1/sqrt(5) * [((sqrt(5)+1)/2)^n - (-1)^n*((sqrt(5)-1)/2)^n]
Wie groß ist der Konvergenzradius in diesem Spezialfall?
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Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 578
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Mai, 2003 - 08:15: |
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sven,
Einstieg:
1) Ansatz: fa(z)=S¥ n=0cnzn,
c0 = fa(0) = 1.
Setze dies in die Dgl. ein und führe Koeffizientenvergleich durch. Das ergibt die Rekursion
(n+1)cn+1 + (n-a)cn = 0 ==>
cn+1=(a-n)cn/(n+1)
Daraus folgt (Induktion !)
cn = [a(a-1)(a-2)...(a-n+1)]/n! = binom(a,n)
Das ist auch a priori klar, denn man sieht unmittelbar,
dass
fa(z) = (1+z)a
Uebrigens ist limn->¥|cn+1/cn| = 1,
woraus der Konvergenzradius ersichtlich ist.
mfG Orion
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Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 579
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Mai, 2003 - 09:59: |
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Weitere Hinweise:
1b) Eindeutigkeit: Ann.: f(z),g(z) seien zwei Lösungen
der Dgl. mit f(0)=g(0)=1. Für h(z):= g(z)/f(z) gilt dann:
h'(z)=0 und h(0)=1 ==> h(z)=1
2a) Multipliziere die Rekursion beiderseits mit zn
und summiere über n = 2,3,.... Dann entsteht
f(z)-a-bz = xz(f(z)-a)+yz2f(z).
Auflösen nach f(z) ergibt die behauptete Formel für
f(z). f(z) ist also eine rationale Funktion von z, und
der Nenner verschwindet nicht für z=0.Der Konvergenzkreis geht durch die am nächsten bei 0
gelegene Nullstelle des Nenners, der Konvergenzradius ist daher > 0.
2b) (an) ist jetzt die Fibonacci-Folge. Seien
f = (1+sqrt(5)/2,
f* = -1/f=1-sqrt(5)/2
die Nullstellen von 1-z-z2. Dann ist (Partialbruchzerlegung !)
f(z)= z/(1-z-z2)
=[1/(1-fz)-1/(1-f*z)]/sqrt(5)
Die explizite Darstellung
an=(fn-f*n)/sqrt(5)
folgt mittels Induktion (Rekursionsformel !).
mfG Orion
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sven (sven23)
Junior Mitglied
Benutzername: sven23
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Mai, 2003 - 16:07: |
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Hallo Orion,
danke für Deine überaus umfangreichen Lösungshinweise! Ist echt stark, wie schnell Du Aufgaben von solchem Kaliber lösen kannst.
mfG Sven |
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