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Lydia (lydia22)
Neues Mitglied
Benutzername: lydia22
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 18:52: | 
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Auf Klaudios Ptolemaios geht die folgende Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks in einem Kreis zurück:
Im gegebenen Kreis mit Mittelpunkt M ziehe man zwei zueinander senkrechte Durchmesser AB und CS. Nun halbiere man die Strecke MB in E. Mit E als Mittelpunkt ziehe man den Kreis durch D (er geht natürlich auch durch C). Dieser schneidet die Strecke AM im Punkt F. Dann ist FD die Seite des einbeschriebenen regelmäßigen Fünfecks, MD diejenige des einbeschriebenen regelmäßigen Sechsecks und FM die des einbeschriebenen Zehnecks. Führen sie angedeutete Konstruktion durch und verifizieren sie diese Behauptung!
Wenn es ihnen nützlich erscheint dürfen sie Trigonometrie verwenden. |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 496
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 08:16: |
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sieh Dir diese 5eck Konstruktion mal an - ist etwas anschaulicher;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 572
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 08:59: |
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Lydia,
Wir wählen den Radius des Kreises als
Längeneinheit. Dann ist (Pythagoras !)
|DE| = (1/2)*sqrt(5)
==> |MF|=(sqrt(5)-1)/2,
|DF| = (5-sqrt(5))/2.
Der Kreis mum D mit Radius |DF| schneide
den Einheitskreis in P, also
|DP| = |DF| .
Für den Winkel w = DMP gilt dann
(cos-Satz !)
cos w = (sqrt(5)-1)/4
==> w = 2p/5.
Also ist |DF| = s5.
Ferner ist bekanntlich s10 = grösserer
Abschnitt des stetig geteilten Radius, also
s10 = (sqrt(5)-1)/2 = |MF|
mfG Orion
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 686
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 09:26: |
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Hi Lydia,
dieser Satz ist auch als "Satz des Eudoxus" bekannt.
Es gibt eine elementare Herleitung über den Sekantentangentensatz-Ohne den Kosinussatz also.
Auf wunsch gibt es nähere Informationen...
Gruß N. |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 497
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 11:11: |
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wie zeigt man diesen Sachverhalt analytisch
wenn gilt
cos w = (sqrt(5)-1)/4
daß auch gilt: w = 2pi/5?
über den Satz der Winkelvielfachen?
Mainzi Man,
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 687
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 12:05: |
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Hi Walter,
w=2pi/5=72°
2pi/5 ist nichts anderes als 72° im Bogenmaß. Das läuft alles über den Arcuscosinus!
Gruß N. |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 498
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 16:00: |
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Hi Niels,
wie zeigt man jetzt, daß
cos 72° = (sqrt(5)-1)/4 gilt?
(nicht über den Umweg der Formel f. das 5-eck, weil das soll ja gezeigt werden)
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 688
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 17:09: |
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Hi Walter,
das geht wie immer über rechtwinklige Dreiecken...
Ist dir die Formel für die Seitenlänge im reg. 10-Eck bekannt?
Falls nicht leite ich sie dir her, wenn ja, dann ist der Beweis relativ flott zu führen.
Gruß N. |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 499
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 17:20: |
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Hi Niels,
gilt nicht Þ
s2n^2 = 2r[r - sqrt(r^2 - (sn/2)^2)]
und damit beweist man die Seitenlänge des 10ecks über die Seitenlänge des 5ecks 
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 689
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 19:48: |
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Hallo Walter,
Im prinzip kann man mit der Formel S10 berechnen wenn man S5 wüsste, oder eben S5 berechenn wenn man S10 wüsste.
Es hängt davon ab, was wir als gegeben vorraussetzen. Da wir ja uns ums 5-Eck kümmern wollten gehe ich mal davon aus, das S5 unbekannt ist.
Durch die oben beschriebenen Realtion-den Satz des Eudoxus- kann man ebenfalls je nachdem ob man s5 oder s10 als bekannt vorraussetzt s10 und s5 berechnen, weil s6 ja immer bekannt ist.
Da wir aber S5 noch nicht kennen müssen wir auf jedenfall s10 berechnen, ob dann mit deiner oben genannten Formel oder über Eudoxus.
Was setzen wir denn nun Vorraus?
Gruß N. |
Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 502
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 20:38: |
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Hi Niels,
Ich hätte S6 gerne vorausgesetzt.
und mit dessen Hilfe S5 berechnet und dann ist es einfach mit "meiner" Formel S10 zu berechnen.
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 503
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 20:49: |
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Nachtrag:
sollte da jetzt sowas wie:
S5^2 = (sqrt((r/2)^2 + r^2) - r/2)^2 + r^2
= (sqrt(5r^2/4) - r/2)^2 + r^2
= (sqrt(5)*r/2 - r/2)^2 + r^2
= (sqrt(5) - 1)^2*r^2/4 + r^2
= [(5 + 1 - 2sqrt(5))/4 + 1]*r^2
= r^2*(5 - sqrt(5))/2
bzw.
S5 = r/2 * sqrt(10 - 2*sqrt(5))
kommen, dann erscheint es mir logisch, nur wie zeigt man, daß das tatsächlich ein 5eck ist?
Mainzi Man,
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Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 574
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 21:02: |
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Hallo,
Der Beweis für cos 72o= (sqrt(5)-1)/4
geht am einfachsten mit Hilfe des "goldenen
Dreiecks" ABC : |AC|=|BC|=1,
Winkel ACB=36o. Die Basiswinkelhalbierende durch A treffe BC in D. Sei |AB|=x ==> |CD|=x, |BD|=1-x.
Aus Aehnlichkeitsgründen ist x/(1-x)=1/x
<==> x2+x-1=0 ==> x = 2*cos 720 =
(sqrt(5)-1)/2. Klar ist : x = s10.
mfG Orion
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 690
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 07:46: |
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Hi Walter,
deine Berechnung von s5 ist richtig und Orion hat auch schon s10 auf die Weise berechnet, die ich vorgeschlagen hätte.
Gruß N. |
Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 504
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 12:03: |
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Hi Niels,
wenn ich es also richtig verstehe, müßte ich den Beweis von Orion kombiniert mit der von mir oben genannten Formel anwenden und damit zeigen, daß die Konstruktion des 5ecks (in Anlehnung daran habe ich ja s5 berechnet) exakt und keine Näherung ist, oder?
Gruß,
Walter
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 692
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 16:55: |
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Hi Walter,
erlich gesagt, ich verstehe die von Lydia oben beschriebenen Konstruktion nicht. Was ist E und D für ein Punkt?
Gruß N. |
Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 505
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 19:13: |
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Hi Niels,
Dann sind wir schon zwei, ich verstehe die ehrlich gesagt auch nicht, man kann aber auch alles kompliziert beschreiben
Die Konstruktion, welche ich kenne lautet so:
(der Einfachheithalber nenne ich die Koord. der speziellen Punkte und gehe von einem Kreis mit Rad. r im Ursprung aus)
M(0|0), X(0|r)
H(-r/2|0)
ich ziehe dabei einen Kreis mit Mittelpunkt H, welcher durch X verläuft; dieser schneidet die x-Achse im Punkt P(p|0), dann ist mein s5 die Strecke PX;
Zusatz, eine Näherungskonstruktion für das regelm. 7eck:
ich ziehe dabei durch H eine parallele zur y-Achse, welche die Kreislinie in den Punkten Q(qx|qy) bzw. Q'(qx|-qy) schneidet;
die Strecken HQ und HQ' sind gleich lang und sind mein angenähertes s7;
Gruß Walter
Mainzi Man,
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