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Beitrag |
    
Alexander (mrknowledge)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 12:31: | 
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Hi,
und wieder ne Frage von mir, diesmal bezüglich der Bogenlänge Kardioide...
Gegeben Kardioid
r=a*/(1+cos (phi)), a>0,0<=phi<=Pi Es kommt 4a raus, aber ich hab keine Ahnung warum...Wieso muß ich von r die Ableitung bilden? Und wie kann ich allgemein an so ein Bogenlängenproblem rangehn?
Besten Dank |
Raffi (raffi)
Neues Mitglied
Benutzername: raffi
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 12:59: |
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Die Gleichung eines Kardioides ist r=a*(1+cos(phi))
Ich denke, es ist nur ein Tippfehler
Zur Rechnung:
Bogenlänge in Polarkoordinaten, bietet sich hier an bei Angabe von Radius und Winkel
s=Integral Wurzel(r^2+r'^2)dphi in den Grenzen phi1=0 bis phi2=Pi
Ableitung von r: r'=-a*sin (phi)
Ich lasse mal das Integral weg und forme nur den Wurzelausdruck um:
W[a^2*(1+cos (phi))^2+a^2*(sin (phi))^2]
=a*W[1+2*cos(phi)+(cos(phi))^2+(sin(phi))^2]
=a*W[2+2*cos(phi)]
=a*W[2*(1+cos(phi))]
mit 1+cos (phi)= 2 cos(phi/2)^2
=2*a*cos(phi/2)
Dieses oben in das Integral einsetzen
s=Integral (2*a*cos(phi/2))dphi
=4*a*sin(phi/2) in den Grenzen von 0 bis Pi
=4*a
Falls Du noch ne Frage hast, bitte melden
Gruß Raffi |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2041
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 13:13: |
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Hi Alexander,
Für das Linienelement ds der Kardioide r = a (1+ cos(phi))
ergibt sich
ds = wurzel (r ' ^ 2 + r ^ 2 ) * d (phi) und mit null als
untere Grenze des Integrals und Pi als obere Grenze
das bestimmte Integral mit
a*wurzel [2*(1+cos(phi))] * d (phi)
als Integrand.
Für den halben Unfang erhalten wir somit:
u / 2 = 2 * a * int [ cos (phi/2) * d(phi) ] = 4* a * sin (Pi / 2) - 0
= 4 a
Der ganze Umfang beträgt (Symmetrie!) 2 * 4a = 8a
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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