| Autor |
Beitrag |
    
Alexander (mrknowledge)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 12:26: | 
|
Hi,
folgende Aufgabenstellung war gegeben und ich weiß nicht, wie auf das Ergebniss zu kommen ist. Die Lsg. ist aber 3Pi*r^2
"Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der x-Achse und der Zykloide x=r(t-sin(t),y=r(1-cos(t)); r>0;0<=t<=2Pi begrenzt wird..."
In meiner Formelsammlung (und so kams auch in der Übung raus) ist der Flächeninhalt 3Pi*r^2...Aber wie sind die auf folgendes Integral gekommen?
A=1/2*Integral von 2Pi bis 0 (xy'-yx') dt ???
Ich mein die Fläche geht doch eigentlich von 0 bis 2Pi*r???
Dann wurde als NR folgendes berechnet:
xy'-yx'=r^2(t-sin t)*sin t - r^2 * (1-cos t)
A=r^2/2 Integr. v. 2Pi-0 (t*sin t+2*cos t - 2) dt
=...=r^2/2(2Pi+4Pi)=3Pi*r^2
Also, wer kann mal schön einfach erklärn, wie man auf das Ergebnis kommt???
MfG |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2040
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 11:13: |
|
Hi Alexander,
Benütze bei der durch eine Parameterdarstellunng
gegebenen Kurve die Sektorformel von
Leibniz.
Die Formel entspricht der Greenschen Formel.
Sie lautet: Fläche A = ½ * int [ (x*dy - y * dx) ].
d.h. für eine Kurve C in Parameterform:
A = ½ * int [ ( x * y' - x' * y ) * dt ]
Für Dein Beispiel mit r = 1 gilt
x = t - sin t , x' = 1 - cos t
y = 1 - cos t , y' = sin t
Der Integrand lautet somit:
f(t) =( t - sin t ) * sin t - ( 1 - cos t ) * (1 - cos t) =
= t * sin t - ( sin t ) ^2 - 1 + 2 * cos t - ( cos t ) ^2 =
= t * sin t - 2 + 2 cos t
Beim Integrieren stoßen wir auf das Integral int [t * sint * dt];
Wir berechnen es durch partielle Integration und erhalten:
- t * cos t + sin t.
Insgesamt erhalten wir für das unbestimmte Integral über f(t):
F(t) = - t * cos t + sin t - 2 t + 2 sin t
Setzen wir die untere Grenze 0 und die obere Grenze 2 * PI
ein, so erhalten wir a = ½ * ( - 6 * Pi)
Durch eine Umorientierung entsteht A = 3 * Pi.
Dieser Wert entspricht der dreifachen Fläche des Einheitskreises,
aus der die vorliegende Zykloide erzeugt wird.
Für Deine Fall bekommst Du, wie vorausgesagt:
A = 3 Pi r^2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
|
|
