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Chatty Chan (chattychan)
Neues Mitglied
Benutzername: chattychan
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 11:23: | 
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Hallo!
Ich hab da ein Problem mit der Berechnung eines Integrals.
8/x^4+4 dx
Als Hinweis hab ich nur das aufm Zettel:
Das Polynom x^4+4 hat keine reellen Nullstellen, kann also über R nur in zwei quadratische Faktoren zerlegt werden. Als Ansatz für die Partialbruchzerlegung kann man also
8/x^4+4 = Ax+B/x^2+2x+2 + Cx+D/x^2-2x+2
verwenden.
Hab alles wie in der Vorlesung eingesetzt und
bin zu folgender Gleichung gekommen:
Ax^3-2Ax^2+2Ax+Bx^2-2Bx+2B+Cx^3+2Cx^2+2Cx+Dx^2+2Dx +2D /
(x^2+2x+2) (x^2-2x+2)
Darauf erhalte ich das folgende Lineare Gleichungssystem:
2B+2D=8
2A-2B+2C+2D=0
-2A+B+2C+D=0
A+C=0
mit der Lösung A=1; B=-2; C=-1; D=2
Jetzt zu meinem PROBLEM:
Wie kann ich damit das Integral berechnen ??
Weiß jetzt nicht mehr weiter.
Für jeden Tipp bin ich sehr dankbar.
Viele Grüsse
EUer CHatty |
Raffi (raffi)
Neues Mitglied
Benutzername: raffi
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 18:02: |
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Hallo Chatty, 1.Teil
A und B eingesetzt ergibt
(X-2)/(X^2+2X+2)
Umformen, dass die Struktur entsteht: im Zähler steht die Ableitung des Nenners
1/2[(2X-2-2)/Nenner]
1/2[(2X-2)/Nenner -2/Nenner]
Das erste Teilintegral ist ja nun der ln Betrag Nenner und das zweite wird so umgeformt, dass die arctan Struktur rauskommt
-2/[x^2+2x+2]=-2 (1/[(x+1)^2+1)
Zusammengesetzt
1/2( ln |x^2+2x+2| - 2 arctan (x+1))
Tja das Gleiche läuft jetzt bei dem 2.Teil
Bis auf paar Vorzeichen !!
Zum Schluß vielleicht noch geschickt zusammenfassen. Ich werde es nachher rechnen. Dann können wir morgen Ergebnisse vergleichen.
Tschüß Raffi
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Raffi (raffi)
Neues Mitglied
Benutzername: raffi
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 19:44: |
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Upps jetzt habe ich doch einen Vorzeichenfehler drin. Aber ich arbeite dran.
Raffi |
Raffi (raffi)
Neues Mitglied
Benutzername: raffi
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 07:05: |
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Hallo
A, B,C und D eingesetzt ergibt
x-2/(x^2+2x+2)- [(x-2)/(x^2-2x+2)]
1.Teil
1/2(2x+2-6/(x^2+2x+2))
1/2(2x+2/(x^2+2x+2)) -1/2(6/[(x+1)^2+1])
Das Integral davon ist
1/2(ln|x^2+2x+2|) -3 arctan(x+1)
2.Teil
- 1/2(2x-2-2/(x^2-2x+2))
-1/2(2x-2/(x^2-2x+2)) + 1/2(2/[(x-1)^2+1])
Das Integral davon ist
-1/2(ln|x^2-2x+2|) + arctan(x-1)
Macht zusammen:
1/2(ln|x^2+2x+2|) -3 arctan(x+1) -1/2(ln|x^2-2x+2|) + arctan(x-1)
Wenn Du willst, kannst Du noch ln-Gesetze anwenden.
Hinweis: Falls Du mal so eine ähnliche Aufgabe in der Klausur bekommst, es wird dann gerne anstelle des arctan (x)auf den arctanh (x) zurückgegriffen. Dann steht zum Schuß ein Minus im Nenner
So ich hoffe, dass jetzt alle Vorzeichen in Ordnung sind.
Gruß Raffi
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Chatty Chan (chattychan)
Neues Mitglied
Benutzername: chattychan
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 16:20: |
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Vielen Dank !! |
