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Christian Kröger (christian962)
Neues Mitglied
Benutzername: christian962
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 11:09: | 
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Ich komm mal wieder nicht weiter...
1.) Sei c:=Wurzel(2) und K:={a+bc; a,b rational} Zeige: K ist Teilkörper von IR
2.) Sei V ein K-Vektorraum, U1, U2 seien Untervektorräume von V. Zeige: Die Vereinigung aus U1 und U2 ist Untervektorraum von V <=> U1 ist Teilmenge von U2 oder umgekehrt
3.) Ist U3 ein weiterer Untervektorraum von V mit U3 ist Teilmenge von U1, so folgt U1 geschnitten (U2+U3) = (U1 geschnitten U2)+U3. Gilt dies stets?
4.) Sind folgende Teilmengen des IR³ Untervektorräume des IR³?
{(x,y,z); x,y,z aus IR, x^2+y^2+z^2=1},
{(x,y,z); x,y,z aus IR, xy=1},
{(x,y,z); x,y,z aus IR, x+y-z=0, x+2y-3z=0}.
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1260
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 15:39: |
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Hi Christian
1.) Das ist größtenteils nur rechnen.
Erstmal prüfen wir die Abgeschlossenheit bei der Addition:
a1+b1c+a2+b2c=(a1+a2)+(b1+b2)c
Assoziativgesetz und Kommutativgesetz folgt direkt aus den Rechenregeln in R. Neutrales Element ist 0, Invers zu a+bc ist (-a)+(-b)c.
Abgeschlossenheit bei der Multiplikation:
(a1+b1c)(a2+b2c)=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+b1a2)c
Und das ist wieder aus K.
Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und die Distributivgesetze folgen aus denen in R.
Neutrales Element ist 1, Invers zu a+bc ist
a/(a²-2b²)-b/(a²-2b²)*c
Der Nenner wird nie Null, weil a eine rationale Zahl ist.
Also ist die Menge K ein Körper und damit logischerweise Teilkörper von R
2.)
"=>"
Die Vereinigung von U1 und U2 sei ein Untervektorraum von V.
Wir nehmen jetzt mal o.B.d.A. an, dass U1 der "kleinere" der Vektorräume ist, wenn sie denn überhaupt eine verschiedene Größe haben.
Angenommen U1 wäre keine Teilmenge von U2. D.h. es gibt Vektoren der Art
u1 aus U1, aber nicht aus U2
u2 aus U2, aber nicht aus U1
Betrachte den Vektor
v:=u1+u2
Da die Vereinigung aus U1 und U2 ein Vektorraum ist, liegt v in diesem Vektorraum und ist damit ein Element von U1 oder U2. Nehmen wir mal o.B.d.A. an, dass v in U1 liegt. Daraus würde folgen
-u1+v=u2 liegt in U1. Das ist ein Widerspruch zur Annahme. Also ist U1 eine Teilmenge von U2.
"<="
Die Richtung ist trivial.
3.)
Allgemein gilt
U1 geschnitten (U2+U3)
=(U1 geschnitten U2) + (U1 geschnitten U3)
Hier musst du eigentlich nur beachten, dass U1 geschnitten U3=U3 ist.
4.) Hier können wir immer das Unterraumkriterium anwenden. Leer sind die Mengen alle nicht, also bleibt nur noch die Abgeschlossenheit zu überpüfen.
Die erste Menge ist offensichtlich kein Vektorraum. Das siehst du schon, wenn du zwei Elemente addierst. Oder noch einfacher ist es, einfach mit einem Skalar r ungleich 1 zu multiplizieren.
r*(x,y,z)=(rx)²+(ry)²+(rz)²=r²(x²+y²+z²)=r*1=r ungleich 1.
Zur zweiten Menge. Hier kannst du das gleiche machen
r(x,y,z)=r²xy
Für r ungleich 1 ist r²xy ungleich 1.
Dritte Menge. Das ist jetzt mal ein Vektorraum.
Nehmen wir die beiden Elemente der Menge
(x,y,z) und (a,b,c)
(x,y,z)+(a,b,c)=(x+a,y+b,z+c)
Jetzt überprüfen wir, ob dieses Element die geforderten Eigenschaften hat.
x+a+y+b-z-c=(x+y-z)+(a+b-c)=0+0=0
Stimmt schonmal.
x+a+2y+2b-3z-3c=(x+2y-3z)+(a+2b-3c)=0+0=0
Stimmt auch.
Fehlt noch die Abgeschlossenheit bei der Multiplikation mit einem Skalar r.
r(x,y,z)=(rx,ry,rz)
rx+ry-rz=r(x+y-z)=r*0=0
rx+2ry-3rz=r(x+2y-3z)=r*0=0
Also haben wir tatsächlich einen Vektorraum
MfG
C. Schmidt
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