| Autor |
Beitrag |
    
lisette (lisette)
Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 05:27: | 
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Hi,
Ich soll das Folgende nachweisen:
Für x > = 0 sei die Funktion f gegeben durch
y = ( x^3 - 3x^2+ 2x ) / 2^x .
Man zeige, dass die Ableitung f ´(x) dieser Funktion
im angegebenen Bereich mindestens drei Nullstellen hat.
Für Lösungshinweise bin ich sehr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen
Lisette
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2033
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 06:31: |
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Hi Lisette,
Die Funktion ist im angegebenen Bereich differenzierbar.
Sie hat die Nullstellen x1 = 0 , x2 = 1, x3 = 2,
wie man durch eine Faktorzerlegung des Zählers leicht feststellt.
Ausserdem ist die +x-Achse Asymptote.
Dies bewirkt die Exponentialfunktion 2^x im Nenner.
Der Graph der Funktion liegt ganz im ersten Quadrant,
ausgenommen sind dabei Punkte der
Kurve mit x-Werten zwischen der
zweiten und dritten Nullstelle.
Wir wenden zweimal den Satz von Rolle an:
für das abgeschlossene Intervall [0,1] und das abgeschlossene
Intervall [1,2].
Damit sind mindestens zwei Nullstellen von f ´(x) gesichert.
Eine dritte (mindestens) liegt im Intervall [2,infinity), wegen
des erwähnten asymptotischen Verhaltens der Funktion.
Bei Bedarf formuliere ich Dir den Satz von Rolle.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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lisette (lisette)
Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 07:34: |
|
danke megamath!
der Satz von Rolle würde mich in diesem Zusammenhang sehr interessieren, also bitte gerne!
liebe Grüße
lisette |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2039
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 10:13: |
|
Hi Lisette ,
Das ist gut, dass Du nachfragst!*
Gerne gebe ich Dir Antwort, indem
ich den Wortlaut des Satzes von Rolle
formuliere.
Es gibt sicher Gelegenheit für Dich, den Satz
hier und dort anzuwenden und vielleicht stellt Dir
Dein Professor eine entsprechende Gewissensfrage
in einer Prüfung.
Ich gebe Dir die einfachste Version:
Es sei f(x) für a<b auf dem abgeschlossenen Intervall
[a,b] stetig und im Innern des Intervalls überall
differenzierbar. Ferner gelte f(a) = f(b) = 0.
Dann gibt es im Intervall wenigstens einen
i n n e r e n Punkt m, für den
die Ableitung f ´(m) null ist.
Anschaulich leuchtet alles ein.
Trotzdem ist ein exakter Beweis nötig.
Du findest solche Beweise mit Bestimmtheit in
Deinen Büchern oder Zetteln.
Daher dispensiere ich mich von einer Herleitung.
Du stellst leicht fest, dass die Voraussetzungen für
den Satz bei Deiner Aufgabe erfüllt sind;
also wende ihn beherzt an.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2046
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 14:18: |
|
Hi Lisette,
Da Du so wissbegierig bist, gibt es eine Zugabe
in Form einer kleinen Aufgabe mit Lösung
als eine weitere Anwendung des Rollschen Satzes.
Wiederum gelte für eine Funktion f(x):
sie sei für a<b auf dem abgeschlossenen Intervall
[a,b] stetig und im Innern des Intervalls überall
differenzierbar. Ferner gelte f(a) = f(b) = 0;
a und b sind zwei aufeinander folgende Nullstellen von f(x).
Wir bilden mit einer beliebigen Konstanten c und
der Ableitung f ´(x) eine neue Funktion
g (x) = f ´(x) + c * f(x).
Die Behauptung lautet:
Zwischen a und b liegt mindestens eine Nullstelle von
g(x); unglaublich, aber war.
Beweis.
Wir bilden die Funktion (m wie megamath)
m(x) = e^(cx) * f(x).
Es gilt m(a) = m(b) = 0 wegen der Voraussetzung über f(x)
Ferner erhalten wir für die Ableitung m´(x):
m´(x) = c e^(cx) * f (x) + e^(cx)* f ´(x) =
e^(cx) * [c * f ( x ) + f ´(x) ] = e^(cx) * g(x)
Für m(x) sind die Voraussetzungen des Satzes von Rolle
mit a und b als Nullstellen erfüllt.
Daher gibt es zwischen a und b mindestens eine Nullstelle
von m´(x) und damit von g(x), weil ja e^(cx ) nicht null wird.
Damit ist der Satz bewiesen.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2047
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 14:20: |
|
Hi Lisette,
Da Du so wissbegierig bist, gibt es eine Zugabe
in Form einer kleinen Aufgabe mit Lösung
als eine weitere Anwendung des Rollschen Satzes.
Wiederum gelte für eine Funktion f(x):
sie sei für a<b auf dem abgeschlossenen Intervall
[a,b] stetig und im Innern des Intervalls überall
differenzierbar. Ferner gelte f(a) = f(b) = 0;
a und b sind zwei aufeinander folgende Nullstellen von f(x).
Wir bilden mit einer beliebigen Konstanten c und
der Ableitung f ´(x) eine neue Funktion
g (x) = f ´(x) + c * f(x).
Die Behauptung lautet:
Zwischen a und b liegt mindestens eine Nullstelle von
g(x); unglaublich, aber war.
Beweis.
Wir bilden die Funktion (m wie megamath)
m(x) = e^(cx) * f(x).
Es gilt m(a) = m(b) = 0 wegen der Voraussetzung über f(x)
Ferner erhalten wir für die Ableitung m´(x):
m´(x) = c e^(cx) * f (x) + e^(cx)* f ´(x) =
e^(cx) * [c * f ( x ) + f ´(x) ] = e^(cx) * g(x)
Für m(x) sind die Voraussetzungen des Satzes von Rolle
mit a und b als Nullstellen erfüllt.
Daher gibt es zwischen a und b mindestens eine Nullstelle
von m´(x) und damit von g(x), weil ja e^(cx ) nicht null wird.
Damit ist der Satz bewiesen.
MfG
H.R.Moser,megamath
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