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venora (venora)
Mitglied
Benutzername: venora
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 20:07: | 
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Hallo!
a)Man nehme an,dass die zwei Messpunkte(1,1),(10,777) auf dem graphen einer Funktion f(x)=axhochb liegen.Wie groß ist b??
b) zeige oder widerlege: Der Logarithmus zur Basis 10 von 2 ist rational, also x=hoch 10 log2element Q |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 675
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 20:27: |
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Hi
zu a)
Wenn die beiden Punkte auf dem Graphen liegen, so müssen ihre Koordinaten die Gleichung erfüllen, du bekommst als:
(1|1) =====> a*1b=1
(10|777) ==> a*10b=777
Aus ersterer Gleichung folgt sofort a=1. DIes in die Zweite liefert:
10b=777, also b=log10(777)
Die Funktion heißt also f(x)=xlog(777) , d.h. b~2,89.
mfg |
Martin (specage)
Mitglied
Benutzername: specage
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 10:30: |
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Also es soll wohl gelten:
lg 2 = p/q , p und q ungleich 0
Forme ich das um, so erhalte ich:
10^(p/q) = 2 und weiter
(5*2)^(p/q) = 2
Daraus folgt: 5^(p/q)*2^(p/q) = 2
oder 5^(p/q) = 2^(1-p/q)
Dies wird zu 5^(p/q) = 2^((q-p)/q)
bzw. 5^p = 2^(q-p)
Dies ist aber nur dann möglich, wenn p und q ungleich 0 sind, das ist ein Widerspruch zur Annahme.
Also ist der Logarithmus zur Basis 10 von 2 nicht rational.
q.e.d. (Hoffe es so ;-))
mfg specage |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 624
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 14:05: |
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Abschließend noch ein paar Anmerkungen:
1) p¹0 muß man nicht vorraussetzen, denn auch 0/q wäre eine rationale Zahl.
2) Am Ende muß es heißen "wenn p und q gleich 0 sind." Ist sicher nur ein Tipfehler.
3) Man erspart sich die Brüche, indem man gleich am Anfang beide Seiten mit q potenziert. Also 10p=2q
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Martin (specage)
Mitglied
Benutzername: specage
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 10:03: |
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Erweiterte Anmerkungen:
1) Hab p ungleich 0 vorausgesetzt, da 0 als Logarithmus stets 1 ist (Ausnahme 0^0)
2) Ist n Tippfehler
3) Joh, hätte man machen können. Mache ich ja auch während der Herleitung.
Gruß specage |
