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Robert (rbr2000)
Mitglied
Benutzername: rbr2000
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Mai, 2003 - 11:05: | 
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Hallo,
ich habe gerade angefangen mit linearer Algebra. Deswegen sind die Aufgaben bestimmt leicht zu lösen, aber ich kriegs irgendwie nicht hin:
1)Es sei a€N,a>=1 keine n-te Potenz einer ganzen Zahl => a^(1/n) nicht aus Q
Das wird wohl indirekt gehen, aber ich komme da auf nix.
2)Zeigen Sie: 6Z+15Z=3Z (Z soll die Menge der ganzen Zahlen sein)
Ist ja irgendwie einleuchtend, aber wie zeige ich das mathematisch korrekt?
Danke
Robert |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 617
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Mai, 2003 - 12:24: |
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1) Richtig: Mit Widerspruchsbeweis
Angenommen a1/n=x/y mit ggt(x,y)=1 => a=xn/yn<=> ayn=xn
Da a keine n-te Potenz einer ganzen Zahl ist, gibt es eine Primzahl p,kÎIN und 0<r<k so daß pnk+r Teiler von a ist. Hieraus folgt aber, daß pk-r Teiler von yn sein muß, also auch pn. Weiter folgt, daß p ebenfalls Teiler von x sein muß. Damit ist ggT(x,y)³p>1 (Widerspruch)
2)(6Z+15Z)c(3Z) dürfte wohl klar sein. Zu zeigen ist nur die Gegenrichtung
Sei z aus 3Z.
Dann gibt es ein x aus Z, so daß z = 3x = 6*(3x) + 15*(-x) Î(6Z+15Z) q.e.d
(Beitrag nachträglich am 03., Mai. 2003 von Ingo editiert) |
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