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Ludwig Schlemm (pingu)
Mitglied
Benutzername: pingu
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 14:15: | 
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Hallo,
hoffe, mir kann hier jemand helfen.
Habe eine Spirale gegeben mit
y=sin(k) / k^p
x=cos(k) / k^p
mit k als Parameter und p vordefiniert.
Jetzt soll man zeigen, für welches p die Länge endlich wird.
mein Ansatz:
länge= Int [ Sqrt ( 1 + (y'/x')^2 ) ]dk
nur leider..kann ich's nich' lösen..wahrscheinlich is' es eh falsch:-)
mathematica spuckt auch nichts aus..also frag ich hier:-)
Danke im Vorraus
gruss |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 546
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 18:43: |
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Ludwig,
Die Bogenlänge ist
L(p) =
ò0 2p(x'(k)2+y'(k)2)1/2dk
Rechnet man den Integranden aus, so ergibt sich die Funktion (prüfe nach !)
f(k)=sqrt(k2+p2)/kp+1
Für die Konvergenz des Integrals kommt es
darauf an, wie sich f(k) für k®0 verhält.
Offenbar ist
f(k) = O(1/kp+1) für k®0.
Das Integral - und damit die fragliche Bogenlänge - ist also endlich genau für
p£0.
Anmerkung : Das unbestimmte Integral
ist für allgemeines p nicht elementar.
Aber das braucht man hierbei auch nicht.
mfG Orion
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Ludwig Schlemm (pingu)
Mitglied
Benutzername: pingu
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 19:05: |
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ok, danke !
werde das erstmal nachrechnen:-)
Komme dann mit fragen bestimmt noch auf ein oder 2 sachen zurück
gruss |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 547
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 21:21: |
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Hallo nochmal,
ich muss mich korrigieren. Der Aufgabensteller hat
wohl die Länge der ganzen Spirale, also aller unendlich vielen Windungen gemeint. Also muss man
L(p)=ò0 ¥f(k)dk
betrachten und daher auch noch f(k) bei
k®¥ untersuchen. Dort ist
f(k) = O(1/kp)
Damit das Integral auch bzgl. der oberen Grenze
konvergiert, muss daher p >1 sein. Insgesamt ist L(p)
daher für kein p endlich. Stimmt's jetzt ?
mfG Orion
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Ludwig Schlemm (pingu)
Mitglied
Benutzername: pingu
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 16:06: |
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ich weiss nicht, ob es stimmt :-)
aber bestimmt, wenn du es sagst.
Habe soweit mal alles nachgerechnet..kam an sich das gleiche raus.
das es für kein p stimmt...hmm..nunja..schade..eine 'normale' Lösung fände ich schöner.*g*
gruß + Danke nochmal
Ludwig |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 553
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 18:21: |
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Nun ja, die Aufgabenstellung ist etwas unbefriedigend:
Man sollte darin eigentlich ein k-Intervall angeben.
mfG Orion
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