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Lisa-Ann (lisaann)
Neues Mitglied
Benutzername: lisaann
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 10:49: | 
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Bitte helft mir, weiß gar nicht wie ich so etwas anfangen soll:
1.Zeigen Sie, dass die Folge der differenzierbaren Funktionen fn(x)=Wurzel aus (1/n + x²)
neN, gleichmässig auf R gegen die Betragsfunktion IxI konvergiert.
2.Seien fn(x) = x + 1/n, f(x)=x für neN,xeR. Offenbar konvergieren fn->f und fn²->f² punktweise auf R. Untersuchen Sie, ob auch die gleichmässige Konvergenz auf R vorliegt. |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 543
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 15:24: |
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Lisa-Ann,
Zunächst muss man sich die Definition
klar machen:
Die Aussage " fn(x)®f(x) gleichmässig
auf R " besagt ausführlich :
Zu jedem e>0 gibt es ein N€N,
sodass für alle n >= N und alle x € R
gilt : | fn (x)-f(x) | < e.
1. Wegen |x| = sqrt(x2) gilt
|fn(x)-f(x)| = (1/n)/[sqrt(1/n+x2) + |x|]
< (1/n)/sqrt(1/n) = 1/sqrt(1/n). (rechne nach !)
Wähle nun N := [1/e2] + 1
([ ] := Gaussklammer). Dieses N ist unabhängig von x, und es gilt :
n > N ==> 1/sqrt(n) < e.
2. Man sieht leicht: limn->¥fn(x)
= f(x) gleichmässig auf R, denn
|fn(x)-f(x)| = 1/n.
Daher auch : limn->¥(fn(x))2 =
(f(x))2. Dies geschieht aber nicht gleichmässig auf R. Denn es ist z.B.
für x>0:
|(fn(x)}2-x2| = 2x/n + 1/n2 > 2x/n.
Zu jedem N gibt es nun x€R mit folgender
Eigenschaft: Es existiert ein n > N, sodass
(z.B.) 2x/n >= 1 . Wähle etwa n = 2N, dann
leistet jedes x>N das Verlangte.
Bemerkung: Man muss sich zunächst klar
machen, was die Aussage
"fn(x) ®f(x) nicht gleichmässig
auf R" bedeutet (also die Negation von
"gleichmässig"), nämlich:
"Es gibt ein e>0, sodass zu jedem
N€N ein x€R mit folgender Eigenschaft existiert : Es gibt ein n>N, sodass
|fn(x)-f(x)| >= e".
Oben war dieses e = 1.
Zugegeben, schwierige Begriffe für Anfänger.
mfG Orion
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Lisa-Ann (lisaann)
Neues Mitglied
Benutzername: lisaann
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 19:49: |
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Danke erstmal.Hab eigentlich alles verstanden.Aber was ist eine Gausklammer?!? |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 544
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 07:19: |
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Lisa-Ann,
Für x€R ist [x]:= grösste ganze Zahl £x, also [x]£x<[x]+1 & [x] € Z.
Der Mann hiess übrigens Gauss.
mfG Orion
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