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Integral

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Mike (mimonte)
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Benutzername: mimonte

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. April, 2003 - 17:34:   Beitrag drucken

Ich habe Probleme beim Finden einer Stammfunktinon zu
f(x)= cos(1 - Sqrt(x)).
Würde mich über jede Hilfe freuen!
thx
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Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1185
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. April, 2003 - 18:42:   Beitrag drucken

Hi Mike

Benutze die Substitution
z=1-sqrt(x) <=> sqrt(x)=1-z
dz/dx=1/(2sqrt(x))
2sqrt(x)*dz=dx

ò cos(1-sqrt(x)) dx
=2*ò(1-z)cos(z) dz
Das Integral läßt sich jetzt leichter lösen. Endergebnis ist dann:
F(x)=-2sin(1-sqrt(x))+2cos(1-sqrt(x))+2(1-sqrt(x)) *sin(1-sqrt(x))

MfG
C. Schmidt
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Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1186
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. April, 2003 - 20:37:   Beitrag drucken

Ist mir ein kleiner Fehler beim Abschreiben unterlaufen. Muss natürlich heißen
dz/dx=-1/(2sqrt(x))
Endergebnis sollte aber stimmen.

MfG
C. Schmidt
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Mike (mimonte)
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Benutzername: mimonte

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. April, 2003 - 21:08:   Beitrag drucken

Jow, danke! Das Ergebnis stimmt! Ich hab jetzt auch meinen Fehler entdeckt... war ne Kleinigkeit beim Umstellen!

Ich habe aber schon wieder bei einer Aufgabe ein Problem. Ich soll eine Stammfunktion zu:
f(x)= cot(x)/(1+cos(x)) bestimmen. Ich hab mit
cot(x)= cos(x)/sin(x) erstmal umgestellt zu:
( sin(x)*(1+cos(x)) )/cos(x) und dann zu:
tan(x) * (1+cos(x)). Dann hab ich versucht partiell zu integrieren aber irgendwo hakt es bei mir mal wieder. Oder hab ich vielleicht schon falsch angesetzt?
Jedenfalls muss ich bei meiner Rechnung dann
(cos(x)^(-4)) integrieren und genau dass bekomm ich nicht hin. Ich könnte mir vorstellen, dass es ganz einfach ist, aber irgendwie hab ich manchmal ein Brett vor'm Kopf und das vor allem kurz nach den Semesterferien!
Wäre nett, denn Du mir nochmal helfen könntest.
Danke auch für die Hilfe bei der ersten Aufgabe!
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Orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 539
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 09:23:   Beitrag drucken

Mike,

Hinweis: Substituiere t = tan(x/2) ==> dx=2dt/(1+t2).

Der Integrand ist eine einfache rationale Funktion
von t. Resultat (Rechne nach !):

(1/2)ln |tan(x/2)| - (1/4)(tan(x/2))2
mfG Orion
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Mike (mimonte)
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Benutzername: mimonte

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 20:05:   Beitrag drucken

Ups, sorry! Also das kann ich jetzt nicht so richtig nachvollziehen. Meine Funktion ist
tan(x)*(1+cos(x)); wo soll ich denn hier
t = tan(x/2) substituieren? Oder weiss ich nur nicht wie das geht?!
Ich hab mal versucht deinen Rechenweg Nachzuvollziehen, weit bin ich aber (leider) nicht gekommen. Da kam mir schon wieder eine neue Frage auf: Wie kommt man denn darauf, dass
( cos(arctan(x)) )^2 = 1/(1+x^2) ist?!
Aber das ist ja vielleicht auch nicht ganz so wichtig, wär super, wenn Du mir noch ein paar mehr Erläuterungen geben könntest.
MfG Mike
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Orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 542
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 22:26:   Beitrag drucken

Mike,

Dein Integrand war cot(x)/(1+cos(x)), oder ?

Nach bekannten trigonometrischen Formeln gilt

cos(x) = (1-t2)/(1+t2)

sin(x) = 2t/(1+t2), t := tan(x/2).

Ferner: t=tan(x/2) ==> x = 2 arctan(t)

==> dx = 2/(1+t2) dt.

Rechne nach ! Danach lässt sich jedes Integral

int Q[cos(x),sin(x)]dx , wobei Q(u,v) eine rationale Funktion in u,v ist, als int R(t)dt schreiben, R(t) =
rationale Funktion von t.

Die nächsten 2 Tage bin ich auf Reisen.




mfG Orion
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elsa (elsa13)
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Benutzername: elsa13

Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 25. April, 2003 - 10:31:   Beitrag drucken

Mike,
schon bei Deiner ersten Umformung des Integranden ist Dir beim Auflösen des Doppelbruchs ein Fehler unterlaufen, ansonsten geht es weiter wie von Orion vorgeschlagen!

mit freundlichem Gruß
elsa

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