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Beitrag |
    
Daniela (panther)
Neues Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. April, 2003 - 11:50: | 
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Welche Rest können bei Quadratzahlen nach Division durch 3, 5, 7 bzw. 8 auftreten? (Beispiele angeben!) |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1138
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. April, 2003 - 16:14: |
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m sei 3 oder 5 oder 7 oder 8,
dann
ist jede ganze Zahl z mit 0 <= r < m
als
z = k*m+r darstellbar,
also
z² = m²k²+2*m*r*k+r² = m*(mk²+2rk)+r²
da
der Summand *(mk²+2rk) durch m teilbar ist,
interessiert nur der Rest von r²:m
weiters
ist der Rest für (k*m+r)² derselbe wie für (k*m-r)²= [(k-1)*m+(m-r)]²,
der Rest für r = u also derselbe wie für r = m-u
für m=3 sind also nur die Reste für 0,1 zu untersuchen (für 2 ist es derselbe wie für -1 gleich dem für +1)
für
5 nur für 0,1,2, für 7 nur 0..3, für 8 nur 0..4
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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