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emil (emil_k)
Junior Mitglied
Benutzername: emil_k
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 14:19: | 
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Hallo,
Kann mir jemand bei der Lösung der folgenden
Aufgabe helfen? Ich komme auf keinen Ansatz.
Die Aufgabe lautet:
Gegeben werden die Punkte L(0/0/a) mit a > 0
und P(3/6/0), sowie die Kugel
x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 – 2 a x = 0.
Man bestimme a so, dass die Schlagschattengrenze
der Kugel auf der (x,y)-Ebene bei Zentralbeleuchtung
von L aus durch P geht.
Vielen Dank zum Voraus
Emil
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2008
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 17:13: |
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Hi Emil,
I. Vorbemerkungen
Die Kugel hat, wie man leicht feststellen kann,
den Mittelpunkt M(a/0/0) und den Radius r = a.
Die von L aus gehenden Lichtstahlen, welche die Kugel
berühren, sind die Mantellinien eines Rotationskegels
mit der Spitze L. Die Gerade LM ist die Achse dieses
Kegels.
Der Kegelfläche selbst spielt also die Rolle eines
Berührungskegels bezüglich der Kugel.
Die in der Aufgabe erwähnte Schlagschattengrenze
erscheint als Schnittkurve c diese Kegels mit der
Schatten auffangenden Ebene, im vorliegenden Fall ist das
die (x,y)-Ebene mit der Gleichung z = 0.
Die Parallelebene durch L zur Schnittebene z = 0 mit der
Gleichung z = a berührt die Kugel, da ja die Beziehungen
r = a und zM = 0 gelten.
Somit ist die Schnittkurve eine Parabel.
II.Lösung
Bei der Lösung der Aufgabe werden wir von der Gleichung
dieser Parabel Gebrauch machen.
Zunächst stellen wir eine Parametergleichung einer
Kugeltangente g auf, welche durch L geht.
t sei der Parameter; g geht durch L, wenn wir ansetzen
x = u t , y = v t , z = a + w t………………………………….(1)
Der Richtungsvektor {u;v;w} soll ein Einheitsvektor sein
(Normierung) ; es gelte also:
u^2 + v^2 + w^2 = 1…………………………………………(2)
Für den Schnittpunkt S von g mit
der (x,y)-Ebene z = 0 gilt t = - a/w,
daraus folgt :
xS = - au / w , yS = - av / w ………………………………..(3)
Wir merken uns: S ist ein allgemeiner Punkt der
gesuchten Parabel, also der Schlagschattengrenze c,
wenn wir noch fordern, dass g die Kugel berührt.
Für die Berührbedingung verwenden wir die so genannte
Diskriminantenmethode. Das geht so:
Wir setzen die Werte aus (1) in die Kugelgleichung ein
und ordnen ; es kommt
(u^2+v^2+w^2) t^2 +2(w-u) a t + a^2 = 0
Wir werden belohnt: wegen der vorsorglichen
Normierung ist der Koeffizient von t^2 eins.
Wir haben die einfache quadratische Gleichung in t:
t^2 +2(w-u) a t + a^2 = 0
Wegen der Berührungsbedingung setzen wir die
Diskriminante D dieser Gleichung null.
Wir erhalten D = 4 a^2 * [(w-u)^2-1] = 0, also
w ^ 2 - 2 w u + u^2 – 1 = 0;
wir ersetzen darin w^2 + u^2 – 1 durch - v^2:
somit kommt:
v^2 + 2 w u = 0……………………………. ……………(4)
Setzen wir in diese Gleichung die Koordinaten
xS und yS aus (3) ein, so erhalten wir nach kurzer
Rechnung als Gleichung der gesuchten Parabel
etwas Wohlvertrautes, nämlich die Gleichung
y^2 = 2 a x………………………………………………..(5)
Dass der Parameter der Parabel gerade a = r ist,
hätte auf Grund des Satzes von Dandelin
vorausgesagt werden können. Die gegebene Kugel
spielt die Rolle der (einzigen) Dandelinkugel beim
parabolischen Schnitt des Berührungskegels.
Schluss: Da die Parabel durch P(3/6) gehen muss,
erhalten wir sofort die Lösung der Aufgabe:
a = 6
°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2009
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 18:13: |
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Hi emil,
Statt die Diskriminantenmethode anzuwenden,
kann man auch so vorgehen:
Wir fordern, dass der Abstand des Mittelpunktes
M der Kugel von der Geraden g den Abstand
r = a habe.
Dann ist g eine Kugeltangente, wie es sein muss.
Ausführung
Zuerst die Daten:
M(a / 0 / 0), g geht durch L(0 / 0 / a)
Daraus entspringt der Verbindungsvektor
q = ML = {- a ;0 ; a}.
Ein Richtungsvektor von g ist der Vektor
p ={u;v;w} mit u^2 + v^2 + w^2 = 1
als Normierung; p entspricht dem in meiner letzten
Arbeit angesetzten Richtungsvektor.
Abstandsformel
d = Abstand (Punkt M , Gerade g):
d = abs(p x q) / abs (p)
Im Zähler steht der Absolutbetrag des Vektorproduktes
p x q = {av; -aw-au ; av},
im Nenner steht der Absolutbetrag des Vektors q ;
dieser ist wegen der Normierung gerade 1.
(beachte 1 ist nach wie vor ungerade!)
Die Bedingung d = a, d.h. auch d^2 = a^2 führt
auf die Gleichung
2 u v + v^2 = 0
Das ist die in der vorhergehenden Arbeit aufgestellte
Gleichung (4) ; ein Bravo !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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emil (emil_k)
Junior Mitglied
Benutzername: emil_k
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 15:20: |
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Hallo megamath,
Deine Antworten haben mir sehr geholfen;
Ich habe viel profitiert und ich konnte
Deine Lösungsschritte sehr gut nachvollziehen.
Schwierigkeiten hatte ich nur mit der
Dandelinkugel.
Warum spielt diese Kugel beim Problem der
Zentralbeleuchtung einer gegebenen Kugel eine Rolle,
und welches ist diese Rolle?
Darf ich Dich um nähere Erläuterungen bitten?
Mir freundlichen Grüssen
Emil K.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2010
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 16:20: |
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Hi Emil,
Ein paar Worte zu den Dandelinkugeln.
Wird ein Rotationskegel von einer Ebene E
geschnitten, welche nicht durch die Kegelspitze S
geht, so entsteht als Schnittkurve c bekanntlich eine
Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nach der
Stellung der Schnittebene.
Sei E* die Parallelebene zu E durch S
Wenn E* mit dem Kegel ausser S keinen Punkt
gemeinsam hat, ist c eine Ellipse.
Ist E* eine Tangentialebene des Kegels,
so ist c eine Parabel.
Schneidet E* den Kegel in zwei Mantellinien,
so ist c eine Hyperbel.
Unter einer Dandelinkugel (DK) versteht man eine
Kugel, die sowohl die Schnittebene als auch die
Kegelfläche berührt.
Der Berührungspunkt einer DK mit E ergibt
einen Brennpunkt F des Kegelschnitts,
die Schnittgerade von E mit der Ebene des Berührkreises
der DK mit dem Kegel ergibt die zu F gehörende Leitgerade.
Beim elliptischen und hyperbolischen Schnitt gibt es
je zwei Dandelinkugeln,
beim parabolischen Schnitt gibt es nur eine DK.
Beim vorliegenden Fall liegt ein Parabelschnitt
des Kegels vor, der durch die von L ausgehenden
Lichtstrahlen gebildet wird, welche die gegebene
Kugel k berühren.
L(0/0/a) ist somit die Kegelspitze S.
Der halbe Oeffnungswinkel dieses Kegels ist
alpha =45°,wie man leicht herausfindet.
Die (x,y)-Ebene ist die Schnittebene E,
Die Parallelebene E* zu E durch L berührt den Kegel
in der Mantellinie LU mit U(a/0/a), wie leicht einzusehen ist.
Die entsprechende Dandelinkugel hat den Mittelpunkt
N(½a /0 /½a) und den Radius a/2, entgegen meinen
Ausführungen in der ersten Arbeit.
Für den Brennpunkt F erhalten wir xF = ½ a , y F = zF = 0.
Wir schliessen anhand einer Skizze
(Schnitt mit der (x,z)-Ebene), dass der Parameter p
der Parabel als Abstand des Brennpunktes F von der
Leitgeraden p = a beträgt, in Uebereinstimmung mit
meiner früheren Arbeit.
Diese Ergänzungen sollten wohl genügen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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