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emil (emil_k)
Neues Mitglied
Benutzername: emil_k
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 17:14: | 
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Hallo
Wer kann mir bei der Lösung der folgenden Aufgabe
über eine Fläche zweiter Ordnung helfen?
Die Aufgabe lautet:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem des Raumes
wird eine Fläche zweiter Ordnung durch die Gleichung
2 x^2 + 2 x y + 2 x z + 2 y^2 + 2 y z + 2 z^2 = 1
gegeben.
Man beweise, dass eine Rotationsfläche vorliegt und stelle
eine Gleichung der Rotationsachse auf.
Diese schneidet die Fläche in zwei Punkten A, B.
Welchen Abstand haben diese Punkte?
Für jede Hilfe danke ich im Voraus.
Emil k.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 554
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 18:57: |
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Hallo,
mich würde eine Lösung dieser Aufgabe auch interessieren. Vorallem wie man an eine solche Fläche heran geht, da hier ja gemischte Glieder xy etc auftreten!
mfg |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 521
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 18:59: |
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Emil:
Hinweis:
Durch die orthogonale Transformation
(Drehung des Koordinatensystems)
x=(1/sqrt(3))x' - (1/sqrt(2))y' - (1/sqrt(6))z'
y =(1/sqrt(3))x' + (1/sqrt(2))y' - (1/sqrt(6))z'
z=(1/sqrt(3))x' + (2/sqrt(6))z'
geht die Gleichung der Quadrik über in
4 x'2 + y'2 + z'2 = 1.
Somit handelt es sich um ein Rotationsellipsoid. Bestimme dazu Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
Q := [[2,1,1],[1,2,1],[1,1,2]] (lies zeilenweise).
Die Eigenwerte sind 4,1,1 , zugehörige
Eigenvektoren : (1,1,1)t(,-1,1,0)t und
(-1,-1,2)t.
mfG Orion
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2005
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 19:13: |
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Hi Emil,
Eine besonders elegante Lösung zu Deinen Fragen
ergibt sich, wenn wir die Eigenwerte und Eigenvektoren
der quadratischen Form F(x,y,z), die durch die linke Seite
der angegebenen Gleichung definiert ist, berechnen.
Das soll nun geschehen:
Die (symmetrische) (3,3)-Matrix M der Form lautet,
Zeile um Zeile in eckigen Klammern:
M= matrix( [[2,1,1],[1,2,1],[1,1,2 ]] ).
Daraus ergibt sich die charakteristische Gleichung.
Dies ist im vorliegenden Fall eine Gleichung
dritten Grades in L, die durch Nullsetzen der
Determinante det (M – L * E) mit E als
(3,3)-Einheitsmatrix entsteht.
Die Gleichung lautet:
L^3 – 6 L^2 + 9 L – 4 = 0; sie hat die Lösungen
L1= 1, L2 = 1, L3 = 4.
Diese L-Werte sind die gesuchten Eigenwerte der
quadratischen Form.
Bezeichnend ist die Tatsache, dass eine Doppellösung
L1 = L2 auftritt, ein Zeichen dafür, dass die zugehörige
Fläche zweiter Ordnung F(x,y,z) = K (constans)
eine Rotationsfläche darstellt.
Die auf Hauptachsenform transformierte Gleichung der Fläche
lautet im entsprechend gedrehten (X,Y,Z)-Koordinatensystem:
L1* X^2 + L2*Y^2 + L3* Z^2 = K, in unserem Fall also
X^2 + Y^2 + 4 Z ^2 = 1.
Somit liegt ein Rotationsellipsoid vor mit der Z-Achse
als Rotationsachse.
Das Ellipsoid schneidet die Z-Achse in den Punkten
A(0 / 0 / ½ ) und B( 0 /0 / - ½).
Der Abstand dieser Punkte ist 1.
Um die Gleichung der Rotationsachse im ursprünglichen
(x,y,z)-Koordinatensystem zu erhalten, ermitteln wir den
zum Eigenwert L3 = 4 gehörenden Eigenvektor
die Koordinaten u, v, w eines solchen Eigenvektors finden
wir auf wohlbekannte Art aus den Gleichungen
(2-4) u + v + w = 0
u + (2-4) v + w = 0
u + v + (2-4) w = 0
Wir wählen w = 1 (Normierung) und finden sofort u = v = 1.
Damit erhalten wir als Gleichung der Rotationsachse
x = y = z , ein einleuchtendes Resultat.
Anmerkung:
Eine besonders raffinierte Methode zur Lösung dieser Aufgabe
werde ich Dir nächstens und nächtens als Fortsetzung
vorführen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2006
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 20:13: |
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Hi eremit,
Hier kommt der angekündigte Beweis dafür, dass
die gegebene Fläche F zweiter Ordnung rotationssymmetrisch
bezüglich der Geraden g mit den Gleichungen x = y = z als
Achse ist.
Wir legen eine senkrechte Ebene E zu g, welche vom
Parameter a abhängig ist.
Als Gleichung einer solchen Ebene setzen wir an:
x + y + z = a …………..(1)
Mit der Formel von Hesse oder anders stellen wir fest,
dass für den Betrag d des Abstandes dieser Ebene vom
Nullpunkt gilt:
d = abs(a) / wurzel(3)
abs(a) ist der absolute Betrag von a
Ziel:
Wir wollen nachweisen, dass die Schnittkurve c von
E mit der Fläche F für jeden Wert von a in einem noch
zu bestimmenden Intervall ein Kreis ist.
Damit ist nachgewiesen, dass unsere Fläche F eine
Rotationsfläche mit g als Achse ist.
Die Gleichung der Rotationsfläche lautet
2 x^2 + 2 x y + 2 x z + 2 y^2 + 2 y z + 2 z^2 = 1 ….(2)
Davon subtrahieren wir die quadrierte Gleichung (1)
x^2 + y^2 + z^2 + 2 x y + 2 y z + 2 z x = a^2 ………(3)
Wir bilden somit die Differenz (2) – (3)
Es kommt:
x^2 + y^2 + z^2 = 1 – a ^ 2
Das ist die Gleichung einer Kugel k mit Radius r
und dem Mittelpunkt im Ursprung.
Es gilt r^2 = 1 – a^2
Schlüsse.
1.
Ein Punkt P auf der Schnittkurve c ist zugleich ein Punkt
der Schnittkurve der Ebene E mit der Kugel k und
umgekehrt.
Damit haben wir gezeigt, dass c als Schnittkurve
Ebene /Kugel ein Kreis ist.
2.
Wir Berechnen den Radius s des Schnittkreises c aus r
und dem weiter oben berechneten Abstand d der
Schnittebene mit Pythagoras; wir erhalten
s^2 = r^2 – d^2 = 1 – a^2 – a^2 /3 = 1/3 [3 – 4 a^2}
Wir erkennen die Grenzen des Intervalls für den
Parameter a:
Es muss gelten: ½ wurzel(3) < = a < = ½ wurzel(3)
Die Grenzen liefern Nullkreise (s=0), das sind gerade die
in der Aufgabe erwähnten Punkte A und B, welche bezüglich
des Nullpunktes symmetrisch liegen.
Für jeden der Punkte gilt:
d = ½ wurzel(3) / wurzel(3) = ½
Damit ist alles nachgewiesen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2007
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 20:37: |
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Hi Emil,
Ich habe Dich in der Anrede in meinem letzten Beitrag umgetauft.
Diese Metamorphose von emil zu eremit
geschah assoziativ,nicht wegen der gleichen Anfangsbuchstaben,sondern wegen einer Arbeit in einem andern Forum,in welchem ich ein schwieriges Thema behandelte,das ein einsamer Eremit gestellt hatte.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 557
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. April, 2003 - 17:54: |
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Hallo,
ich hätte da eine kurze Nachfrage, wenn es keine Umstände macht.
Ist es egal wie man die Eigenwerte der Matrix als Koeffizienten vor die transformierte Rotationsfläche schreibt, denn Orions Lösung ist ja in meinen Augen anders als die H.R.Mosers. Oder hängt das alles von der Sichtweise ab, also wie man transformiert?
mfg |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 522
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 08:05: |
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Ferdi,
das läuft nur auf eine Umbenennung der Achsen des
transformierten Koordinatensystems hinaus.
mfG Orion
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emil (emil_k)
Neues Mitglied
Benutzername: emil_k
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 09:19: |
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Hallo
Ich danke megamath und orion für ihre
hervorragenden Antworten!
Ich habe sehr viel davon profitiert.
MfG
emil |
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