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Beitrag |
    
Nicole (nixal)
Mitglied
Benutzername: nixal
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. März, 2003 - 19:55: | 
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HILFE!
Weiß jemand wie man dieses Bsp lösen könnte?
Für 0<y<x mit xy=2 definiere x'=(x+y)/2 und y'=2/x'. Dann gilt y<y'<sqrt2<x'<x. Wiederholt man diese Operation, erhält man eine Intervallschachtelung für sqrt2. Berechne die ersten 5 Intervalle, wenn man von y=1, x=2 ausgeht.
Wieviele Iterationsschritte (was ist das überhaupt?) sind notwendig, um sqrt2 auf 10 bzw. 100 Stellen genau zu berechnen?
nixal |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 515
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. März, 2003 - 08:48: |
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Nicole:
Zunächst gilt für beliebige x,y > 0:
(1) (x+y)/2 >= sqrt(xy) mit "=" genau dann wenn x=y.
("arithmetisches Mittel >= geometrisches Mittel":
Dies folgt z.B. aus (sqrt(x)-sqrt(y))2>=0 durch
Quadrieren und Umordnen).
Nach (1) ist also x' > sqrt(xy)=sqrt(2) und daher
y'=< 2/sqrt(2)=sqrt(2).
Wegen x'<x folgt x'y<xy=2, also y<2/x' = y' schliesslich
x'<(x+x)/2=x. Damit ist obige Ungleichungskette bewiesen. Nun schätzen wir die Differenz x'-y' ab;
0=<x'-y'=(x+y)/2-4/(x+y)=(1/2)[(x+y)2-8](x+y)
=(1/2)(x-y)2/(x+y) = (1/2)(x-y)*[(x-y)/(x+y)]
< (1/2)(x-y).
Die Länge x'-y' des Intervelles [y',x'] ist also weniger als
die Hälfte der Länge x-y des Intervalles [y,x].
Nun definiert man rekursiv eine Folge von Intervallen [yn,xn] durch x0:=x, y0:=y und
xn+1 := x'n = (xn+yn)/2, yn+1:=2/x'n.
Nach obigen Abschätzungen gilt für alle n=0,1,2,...
yn<yn+1 < sqrt(2)<xn+1<xn
sowie
0<(xn+1-yn+1)<(1/2)(xn-yn),
also (Induktion!)
0<xn-yn < (1/2)n(x-y).
Die Intervallängen xn-yn bilden somit eine
Nullfolge, und die Folge der Intervalle [yn,xn]
ist eine Intervallschachtelung,welche die reelle Zahl
sqrt(2) erfasst.
mfG Orion
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1060
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. März, 2003 - 09:34: |
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der Fehler nach irgend einer Iteration, die aus x,y
x+,y+ macht sein f;
nach
der nächsten Iteration wird daraus der Fehler f+ .
da der Fehler für (1+2)/2 - Wurzel(2) =0.08... < 1
ist
ist sicher f+ < f,
der 2te Faktor nähert sich, steigend, Wurzel(2) / 2,
maßgebelich für eine Abschätzung ist also der 1te
Faktor,
iteriert also f2n/2n
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Nicole (nixal)
Mitglied
Benutzername: nixal
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. März, 2003 - 10:53: |
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Hallo Orion!
Hätt noch eine kurze Frage an dich, ich sitz schon seit einer Stunde bei diesem Bsp und verstehe einfach nicht wie du von (1/2)[(x+y)²-8](x+y)=(1/2)(x-y)²/(x+y) kommst.
Wenn du mir hier noch weiterhelfen könntest wäre ich dir sehr dankbar!
lg
nixal |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1073
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. März, 2003 - 13:40: |
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ich hoffe, Orion ist nicht böse, wenn ich nochmals
zu
helfen versuche.
die Zeile 0 <= x'-y' = .. = (1/2)[(x+y)^2 - 8](x+y)
muß wohl
richtig ... (1/2)[(x+y)^2 - 8] / (x+y) lauten .
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x² + 4 + y^2 damit wird dann
(1/2)[(x+y)^2 - 8] / (x+y) = (1/2)[x^2 - 4 + y^2] / (x+y)
und
weil y^2 < 4 gilt gilt x^2 - 4 + y^2 < x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)
somit
x'-y' < (x-y)/2
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Nicole (nixal)
Mitglied
Benutzername: nixal
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. März, 2003 - 15:56: |
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DANKE!!! Hab mir eh gedacht, dass er den Bruchstrich vergeßen hat, aber ich war mir nicht ganz sicher, also nochmals danke!
lg
nixal |
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