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Manuel (batmanu)
Junior Mitglied
Benutzername: batmanu
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. März, 2003 - 15:17: | 
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Hallo !
Ich lerne gerade für eine Klausur und bin ein wenig verwirrt. Folgendes Problem: Es sei die Matrix A: 1. Zeile: 1, -1, 2 / 2. Zeile 2, 1, 3 und der Vektor x E R³
Die Aufgabe ist: Zeige E = A*x - E ist eine Ebene im R². Der Hinweis ist: Zu jedem Vektor t E R² existiert ein Vektor x E R³ mit A*x=t.
Mein Problem ist: Für mich ist das keine einzelne Ebene im R², sondern 2 Ebenen - nämlich E1=x1 - x2 +2*x³=t1 und E2 =2*x1 + x2 +3*x3= t2. Wieso bekomme ich also aus 2 Gleichungen die jeweils eine Ebene beschreiben wieder eine Ebene. Wenn ich die Ebenen schneide, müsste ich doch eine Gerade rausbekommen ?
2. Aufgabe: Warum ist A*x=0 eine Gerade ?
Ich bitte um schnelle Hilfe, hab nämlich nicht mehr viel Zeit und ich werde langsam nervös.
Vielen Dank schonmal im Voraus !
Manuel |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1074
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. März, 2003 - 15:44: |
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Hi Manuel
Nehmen wir mal an, du hast den Vektor
t aus R² gegeben und dieser ist
(t1,t2).
Unseren Vektor x nennen wir mal (x,y,z).
Jetzt multiplizieren wir den mal mit A, als Ergebnis haben wir den Vektor
(x-y+2z,2x+y+3z). Und der soll jetzt gleich dem Vektor t sein, also haben wir das LGS
x-y+2z=t1
2x+y+3z=t2
Da addieren wir mal Gleichung 1 zu Gleichung 2:
3x+5z=t1+t2
Du kannst jetzt noch ein wenig weiterrechnen, aber man sieht eigentlich jetzt schon, dass das Gleichungssystem auf jeden Fall lösbar(nicht eindeutig) ist, damit gibt es zu jedem t aus R² einen Vektor x aus R³ mit A*x=t. Also ist E im Prinzip R² selbst, weil jedes t aus R² bild deiner linearen Abbildung ist.
2. Vorgehen ist hier ähnlich. Hier ist jetzt t1=t2=0, also hast du das Gleichungssystem
x-y+2z=0
2x+y+3z=0
Das löst du jetzt z.B. in Abhängigkeit von z:
z=z (das sollte wohl so sein  )
x=-5/3*z
y=1/3*z
Gerade ist dann x=z*(-5/3,1/3,1)
MfG
C. Schmidt |
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