    
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Februar, 2002 - 07:53: | 
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Hi Verena,
Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts lautet
A x ^ 2 + 2 * B x y + C y ^ 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0
Für den Typus der Kurve sind ausschliesslich die Koeffizienten
A,B,C der quadratischen Form A x ^ 2 + 2 * B x y + C y ^ 2
massgeblich.
Man bildet die Determinante
delta = A * C – B ^ 2
Je nachdem, ob delta > 0, = 0 oder < 0 gilt, liegt eine
Ellipse, Parabel oder Hyperbel vor.
Im vorliegenden Fall ist A = 1, B = 2, C = 1, somit ist
delta = 1 – 4 < 0; wir haben es mit einer Hyperbel zu tun.
Der Nullpunkt O des Koordinatensystems ist der Mittelpunkt der
Hyperbel, da dieser Punkt offenbar Symmetriezentrum der Kurve ist.
Vertauscht man in der gegebenen Gleichung x^2 + 4 x y + y^2 = 1
die Variablen x und y miteinander, so geht die Gleichung in sich
selbst über; sie ist gegenüber dieser Transformation invariant.
Die Vertauschung der Koordinaten x und y bedeutet aber geometrisch
eine Spiegelung an der Geraden y = x , d.h.. an der Winkelhalbierenden g
des ersten und dritten Quadranten des Koordinatensystems.
Diese Gerade ist somit eine Achse der Hyperbel.
Die dazu senkrechte Gerade h mit der Gleichung y = - x ist die
zweite Achse der Hyperbel.
Wir ermitteln die Schnittpunkte A und B von g mit der Hyperbel,
indem wir y = x in die Hyperbelgleichung einsetzen:
Wir finden x ^ 2 =1/6 und y^2 = 1/6 , somit
xA = 1/wurzel(6), yA= 1/wurzel(6)
xB = -1/wurzel(6), yA= - 1/wurzel(6)
A liegt im ersten, B im 3. Quadrant.
Die Länge der Strecke OA = OB ergibt die (reelle) Halbachse a der
Hyerbel: a = xA * wurzel(2) = wurzel(1/3)
Die Schnittpunkte von h mit der Hyperbel sind imaginär
Wir ermitteln sie gleichwohl, um die (imaginäre) Halbachse b der
Hyperbel zu bekommen
Wir setzen y = - x in die Hyperbelgleichung ein :
Wir finden x ^2 = - ½ und y^2 = - ½ .
Die (reellen) Punkte C und D auf h im zweiten bezw. vierten Quadrant
mit den Koordinaten
xC = -1/wurzel(2), yC= 1/wurzel(2)
xD = 1/wurzel(2), yD= - 1/wurzel(2)
liefern mit b = xD* wurzel(2) = 1 die zweite Halbachse der Hyperbel.
Nun wählen wir ein neues Koordinatensystem mit neuen Koordinaten X,Y ,
indem wir die X-Achse auf die Gerade g, die Y-Achse auf die Gerade h
legen und zwar so, dass das neue System gegenüber dem alten (x,y)-System
um 45° gedreht ist.
Im neuen System (Hauptachsensystem!) lautet die Gleichung der Hyperbel :
X^2 / a^2 – Y ^ 2 / b^2 = 1 , also:
X^2 / (1/3) – Y^2 / 1 = 1 oder
3 X ^ 2 – Y ^ 2 = 1.
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Auf dasselbe Resultat kommt man in wenigen Zeilen , wenn man die
Eigenwerte L1 = 3 , L2 = - 1 der quadratischen Form berechnet.
Bei Bedarf führe ich Dir auch diese Methode vor.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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