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Rolf S.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Februar, 2002 - 14:33: | 
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Hallo,
Ich bräuchte Hilfe bei der Lösung der folgenden Aufgabe
Man berechne (von Hand) das bestimmte Integral I mit
f(x) =1/(1+cosx)^2 als Integrand,
untere Grenze – 2Pi/3,obere Grenze 2Pi/3.
Ich finde keinen Ansatz, der zur Berechnung einer Stammfunktion
F(x) führt.
Für jede Hilfe dankt im voraus
Rolf S. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Februar, 2002 - 15:58: |
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Hi Rolf
Vorgängig der Lösung Deines Integrals berechne ich ein
Integral H(x), das noch hilfreich sein wird, nämlich das
unbestimmte Integral
H(x) = int [ 1/(cos x)^4 * dx ] ; wir integrieren partiell
mit u = 1/ (cos x)^2 und v´= 1/ (cos x)^2 ; dies ergibt
H(x) = int [ 1/(cos x)^2 * 1/(cos x)^2 dx ] =
= tan x * 1 / (cos x)^2 – int [2* tanx * sin x / (cos x) ^3 * dx ]
= tan x / (cos x)^2 – 2 * int [(sin x)^2 / (cos x) ^ 4 * dx ]
= tan x / (cos x)^2 – 2 * int [{1 – (cosx)^2)} / (cos x) ^ 4 * dx]
auf der rechten Seite entsteht nochmals H ; mithin:
H = tan x / (cos x)^2 – 2 * H + 2 * int [{1 / (cos x) ^ 2 * dx]
H = tan x / (cos x)^2 – 2 * H + 2 * tan x; daraus berechnen wir H:
H = 1 / 3 * sin x / (cos x )^ 3 + 2 / 3 * tanx ………………………………..(1)
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Nun ermitteln wir das unbestimmte Integral
F(x) = int [1/(1 + cos x)^2*dx ], indem wir von der goniometrischen Formel
( 1 + cos x ) = 2* [cos (x/2)] ^2 Gebrauch machen.; es kommt:
F = ¼ * int [1 / (cos x/2) ^ 4 * dx ] , mit der Substitution x/2 = z , dx = 2 dz
entsteht:
F = ½ * int [1 / (cos z) ^ 4 * dz, mit (1) kommt, nach erfolgter Rücksubstitution:
F = 1 / 6 * sin (x/2) / (cos(x/2) ) ^ 3 + 1 / 3 * tan(x/2)
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Beachte, dass der Graph des Integranden f(x) bezüglich der y-Achse
symmetrisch ist Es genügt daher, das bestimmte Integral in den Grenzen
x = 0 bis x = 2*Pi /3 zu berechnen; das Resultat ist dann ½ I.
Für I erhalten wir das Resultat
I = 1/3* ½ wurzel(3 /(1/8) + 2/3 * wurzel(3) = 2* wurzel (3)
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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