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Marc
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 19:30: | 
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Hallo,
Ich suche Hilfe zur Berechnung des bestimmten Integrals
I = int (dx /(2+sinx));die untere Grenze ist 0 ,die obere 4 Pi.
Das unbestimmte Integral habe ich einer Tabelle entnommen:
Resultat: 2/sqrt(3) * arc tan { (2 tan (x/2)+1) / sqrt(3) }
Beim Einsetzen der Grenzen komme ich nicht auf ein vernünftiges
Resultat.
Wie muss ich vorgehen ?
Vielen Dank zum voraus
Marc |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 20:35: |
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Hi Marc,
Duplizität der Fälle !
Kürzlich erst habe ich auf Wunsch das zu Deiner Aufgabe
gehörende unbestimmte Integral, wenigstens ein Stück weit, vorgelöst.
Ich kopiere meine damaligen Ausführungen und gehe am Schluss auf
Deine Frage näher ein.
Naheliegend ist die Substitution t = tan(x/2). Durch Umformung
gewinnen wir die Beziehung
sin x = 2 t / ( 1 + t ^2 ) ; sin x ist somit rational durch t ausgedrückt,
was sich als nützlich erweisen wird
(auch cos x und tan x lassen sich auf diese Art rational durch t
ausdrücken ).
Für die Differentiale d x und dt erhalten wir die Beziehung
dx = 2* dt / (1+ t ^ 2 ).
Setzt man dies ein, so entsteht das Integral in t:
J = int [ 1 / {t ^2 + t + 1} * dt
Der Integrand ist eine gebrochene rationale Funktion mit komplexen
Nullstellen des Nenners.
Man findet in Tabellen oder auch von Hand :
J = 2 / wurzel(3) * arc tan [( 2 t + 1) / wurzel(3) ]
Ersetzt man darin t durch tan (x/2) , so erhält man als Schlussresultat:
J = 2 / wurzel(3) * arc tan [(2 * tan(x/2) + 1) / wurzel(3) ]
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Die Berechnung des bestimmten Integrals J* ist tatsächlich etwas heikel:
obere Grenze eingesetzt ergibt für den Faktor mit arctan:
A = arc tan [(2 * tan(2*Pi) + 1) / wurzel(3) ] = arctan [1/wurzel(3) ]
= 13 * Pi / 6 (!);
untere Grenze eingesetzt ergibt für den Faktor mit arctan
B = arc tan [(2 * tan(0) + 1) / wurzel(3) ] = arctan [1/wurzel(3) ]
= Pi / 6 (!) .
Schlussresultat
J* = 2 / wurzel(3) *[ A – B ] = 4 * Pi / wurzel(3)
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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