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Res
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 11:28: | 
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Hallo,
Ich benötige Hilfe bei der Lösung der folgenden Aufgabe
Man ermittle für x abs.< 1 die Summe f(x) der unendlichen Reihe
x /(1+x) + 2*x ^2 / (1+ x^2) + 4 x ^ 4 / (1 + x ^ 4) + 8 * x^8 / (1 +x^8) + ....
Besten Dank im voraus !
MfG
Res |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Februar, 2002 - 11:03: |
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Hi Res,
Wenn man die einzelnen Brüche in unendliche geometrische Reihen entwickelt,
das Ganze umstellt, sodass eine einzige Potenzreihe in x entsteht, erhält man zunächst
eine unendliche geometrische Reihe, nämlich:
x + x^2 + x^3 + x^4 +. mit der Summe x / ( 1 – x ) .
Also f(x) = x / ( 1 – x )
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Andere Herleitung
Es gelten (bitte nachrechnen !) die Identitäten.
x /(1- x) – x / (1+x) = 2*x^2 / (1 - x^2)
x /( 1 – x ) – {x /( 1 + x ) + 2 * x ^2 / (1 + x ^2 } = 4 x ^4 / (1 – x ^4 )
x /( 1 – x ) – {x /( 1 + x ) + 2 * x ^2 / ( 1 +x ^2 ) + 4 * x ^ 4 / ( 1 + x ^4 ) } =
= 8* x ^8 / ( 1 – x ^8 )
usw.
Geht die Gliederzahl gegen unendlich, so erkennt man leicht
die Grenzfunktion ist f(x) = x / (1 – x ), wenn die Voraussetzung
abs(x) < 1 erfüllt ist.
Bemerkungen
Leitet man die gegebene Reihe, deren Summe f(x) wir nun kennen,
gliedweise nach x ab, so erhält man eine bemerkenswerte Reihe, deren
Summe die Ableitung von f(x) ist:
f1(x) = f ´(x) = 1 / (1 – x ) ^ 2 .
Wir schreiben:
1 + 2 * x + 3* x ^2 + 4* x^3 +.....................= 1 / (1 – x ) ^2
Wenn wir nun zum Plausch, aber mit Hintergedanken, beide Seiten mit x
multiplizieren, so erhalten wir die Reihendarstellung der
Koebeschen Funktion K = K(x)
K(x) = x + 2 * x ^ 2 + 3* x ^ 3 + 4* x ^ 4 +.....................= x / (1 – x ) ^ 2
Differenziert man die ursprünglich gegebene Reihe gliedweise nach x und
multipliziert nachher alle Glieder mit x, so gewinnt man die
Darstellung
x /(1+x)^2 + 4*x^2 / (1+x^2)^2 + 16*x^4 / (1+x^4)^2 + 64*x^8 / (1+ x^8)^2+...
= x / (1 – x ) ^ 2
Bedeutung der Koebeschen Funktion
Die von Paul Koebe (1882- 1945) eingeführte Funktion f(z) = z / (1-z) ^ 2
der komplexen Variablen z fand u. a. Anwendung bei den Untersuchungen zur
berühmten Bieberbachschen Vermutung, einer pièce de résistance
der Funktionentheorie (siehe in der einschlägigen Literatur nach !).
Ludwig Bieberbach (1886-1982) selbst stellte seine Vermutung im Jahr 1916 auf und
bewies den Satz in einem relativ engen Rahmen.
Der vollständige Beweis gelang erst im Jahr 1984.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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