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Albert
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 14:58: | 
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Hallo,
Kann mir jemand helfen bei der
Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren der (4,4)-Matrix A,
deren Zeilen durch 4 eckige Klammern gegeben sind.
A = [0,1,0, 0],[0, 0, 1, 0],[0, 0, 0, 1], [48, - 28, - 8 , 7 ]
Vielen Dank .
MfG
Albert |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 16:31: |
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Hallo Albert,
Rechne nach, dass das charakteristische
Polynom von A
charpoly(t) := det(A-tE)
= t^4 - 7 t^3 + 8t^2 + 28t - 48
ist.Hinweis: Die Nullstellen (d.h. die Eigenwerte von A) sind alle ganzzahlig und daher Teiler von 48 : finde sie selbst !
Ist e ein Eigenwert, so erhält man die zugehörigen Eigenvektoren u als Lösungsvektoren
des homogenen linearen Gleichungssystems
(A-eE)u = 0.
Das sollte kein Problem sein.
mfg
Orion |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 16:39: |
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Hi Albert,
Für die Ermittlung des charakteristischen Polynoms P(L), dessen Nullstellen
die Eigenwerte der Matrix A ergeben, muss bekanntlich die Determinante
D = det (A – L* I) berechnet werden.
I ist (hier) die (4,4)- Einheitsmatrix.
Im vorliegenden Fall erhalten wir als charakteristisches Polynom bei
sorgfältiger Rechnung :
P = P(L) = L^ 4 – 7 * L^3 + 8* L ^ 2 + 28 * L – 48.
Eine Nullstelle ist L = L1 = 2 (erraten), eine zweite L = L2 = - 2.
Das Polynom ist somit durch (L - 2)* (L + 2) = L^2 – 4 teilbar.
Resultat der Division :L ^ 2 - 7 * L +12.
Die Nullstellen L3 = 3 und L4 = 4 liefern die beiden restlichen Eigenwerte.
Ich zeige Dir für L1 = 2 den Rechengang zur Ermittlung des zugehörigen
Eigenvektors v1,dessen Koordinaten mit x, y, z ,u angesetzt werden
Die vier Zeilen der Matrix A - L*I geben mit L = 2 folgende
vier homogene Gleichungen in x , y , z , u :
- 2 x + y + 0 z + 0 u = 0
- 2 y + z + 0 u = 0
- 2 z + u = 0
48 x - 28 y – 8 z + 5 u = 0
Setze in der ersten Gleichung x = 1 , daraus folgt sukzessive y = 2,z = 4,u = 8
Also
v1={1;2;4;8}, analog berechnet man die übrigen Eigenvektoren
v2= {1;2;4;8}, v3={1;3;9;27}, v4={1;4;16;64}
Anmerkung
Für Eingeweihte geht die Rechnung besonders einfach.
Auf den ersten oder zweiten Blick erkennt man, dass die
Matrix eine so genannte Frobenius –Matrix ist, benannt nach dem
deutschen Mathematiker Georg Frobenius (1849- 1917).
Die drei ersten Zeilen haben die auffallende Struktur mit den
Nullen und Einsen.
Die Elemente der vierten Zeile sind dann eo ipso die
entgegengesetzt gleichen Werte der Koeffizienten des
charakteristischen Polynoms
Liest man diese Zeile., wie üblich , von links nach rechts,
so erhält man der Reihe nach die Koeffizienten im Sinne
steigender Potenzen in L, mit anderen Worten
Zum charakteristischen Polynom
P(L) = ao + a1 L +a2 L^2 + a3 L^3 + L 4 gehört
die letzte Zeile [-ao, -a1, -a2, - a3] in der Frobenius –Matrix und umgekehrt.
Der zu Li gehörige i-te Eigenvektor lautet:
vi = {1; Li ; Li^2 ; Li^3 }
Analoge Formeln gelten für. Frobenius-Matrizen der Ordnung n.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Albert
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 07:56: |
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Hallo Orion, Hallo H.R.Moser,megamath
Für die Antworten möchte ich Euch herzlich danken.
Sie haben mir sehr geholfen !
MfG
Albert |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 09:01: |
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Hi,
Eine für Benützer von Computeralgebra-Systemen (Maple u.a.)
nützliche Bemerkung:
Durch Eingabe des Befehls frobenius(A) wird die Begleitmatrix
oder Frobeniusmatrix der gegebenen Matrix A erzeugt.
Die entgegengesetzt gleichen Werte der Koeffizienten des
charakteristischen Polynoms erscheinen hier in der letzten Spalte
statt in der letzten Zeile.
Ein Beispiel in der Maple-Sprache:
with(linalg):
A:=matrix([[4,0,-2],[1,3,-2],[1,2,-1]]);
charpoly(A,t);
Res. :t^3 – 6 t^2+ 11 t – 6
eigenvals(A) ;
Res. : 1 , 2 , 3
F :=frobenius(A) ;
Res. : F = matrix([[0,0,6],[1,0,-11],[0,1.6]])
Unter anderem können Frobeniusmatrizen eingesetzt werden,
um die Aehnlichkeit zweier Matrizen festzustellen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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