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Beitrag |
    
Bernd Lienland (Ochsenp)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Februar, 2002 - 22:08: | 
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Hallo,
kann mir irgendjemand ausführlich den Beweis für die erste und die zweite Guldinsche Regel geben?
Ich habe da schon irgendwas gelesen. Die haben was von Doppenintegral geschwafelt. War aber leider nur stark angeschnitten, so dass dieses mir nicht weitergeholfen hat.
Wäre echt super!
Danke schon mal im vorraus
bernd |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Februar, 2002 - 09:49: |
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Hi Berrns,
Der korrekte Weg, die Guldinschen Regeln herzuleiten,
führt notwendigerweise über die Integralrechnung;
dabei sind Mehrfachintegrale unverzichtbar.
Gleichwohl führe ich Dir Herleitungen der Regeln vor, wie sie
für den propädeutischen Unterricht durchaus zulässig sind
und gelegentlich im Stereometrieunterricht erfolgen.
Ich beschränke mich zunächst auf die erste Regel
(Nach Möglichkeit erfolgt eine Herleitung der zweiten Regel später).
Wir benötigen eine Formel für die Mantelfläche M eines Kegelstumpfes
mit den Radien R und r sowie der Länge s einer Mantellinie.
Es gilt bekanntlich:
M = 2 * Pi * (R + r) / 2 ………………………………………………….(1)
Gegeben sei ein ebener Polygonzug (Streckenzug)
A1 A2 A3 A4.... A(n)A(n+1)
Die Seitenlängen sind:
A1A2 = a1; A2A3 = a2,....A(n)A(n+1) = an
Dieser Streckenzug rotiert um eine in derselben Ebene liegende Achse s ,
welche den Streckenzug nicht schneidet.
Mit sj sei der (senkrechte) Abstand des Mittelpunktes oder Schwerpunktes
Sj der Strecken aj von der Drehachse s bezeichnet,
s1 ist der Abstand des Mittelpunktes S1 der Strecke a1 von s
..................................................................................................
sn ist der Abstand des Mittelpunktes Sn der Strecke an von s
Es entsteht eine Rotationsfläche mit dem Inhalt F, die sich als Summe von
Kegelstumpfmänteln gemäss Gleichung (1) berechnen lässt:
F = 2 * Pi * a1 * s1 + 2 *Pi * a2 * s2 +…………… 2*Pi * an * sn
= 2 * Pi* [ a1 * s1 + a2 * s2 +……………..+ an * sn ]
Sei s der Abstand des Schwerpunktes des Streckenzuges A A1 A2 ...
von der Achse s, so kann nach der Momentengleichung der Statik
(homogen verteilte Masse!) der Inhalt der eckigen Klammer ersetzt
werden durch den Term
(a1+a2+........+an)* s , sodass die Gleichung entsteht:
F = 2* Pi * s * (a1+a2+........+an);
Wir ersetzen die Klammer noch durch die Gesamtlänge L des Streckenzuges
und erhalten:
F = 2* Pi * s * L
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Nun bricht man alles übers Knie mit dem Postulat:
Die Formel gilt auch für einen krummlinigen Meridian, wenn dieser durch einen
Polygonzug besser und besser approximiert wird im Sinne eines Grenzübergangs:
die Anzahl n der Seiten des Polygons strebt gegen unendlich.
Die unterstrichene Formel beinhaltet tatsächlich die erste Guldinsche Regel:
Rotiert eine gegebene ebene Linie um eine sie nicht schneidende Achse
derselben Ebene, so ist die Oberfläche der von ihr erzeugten Rotationsfläche
gleich dem Produkt aus der Länge L der Linie und der Länge des Weges ihres Schwerpunktes ; letztere stimmt mit einem Kreisumfang überein.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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