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Beitrag |
    
Jogi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Februar, 2002 - 16:25: | 
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Hi,
wie berechne ich d2y / dx2 von
b2x2+a2y2=a2b2
Muss ich nach y umstellen und dann normal ableiten ? Plz help.
MFG
Jogi |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Februar, 2002 - 19:56: |
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Hallo Jogi,
Man muss nicht. Durch implizite Differentiation
findet man
b^2*x + a^2*y*y' = 0 ,
b^2 + a^2*(y'^2 + y*y") = 0
und kann alsdann y" durch x,y ausdrücken.
mfg
Orion |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Februar, 2002 - 20:05: |
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HiJogi,
Du brauchst die Ellipsengleichung nicht nach y aufzulösen !
Du erreichst das Ziel am besten durch zweimaliges implizites
Differenzieren; das geht so:
Beide Seiten der Ellipsengleichung
b^2 * x^2 + a^2 * y^2 = a^2 * b^2 werden nach x abgeleitet ; es entsteht :
2 * b^2 * x + 2*a^2* y * y ´= 0 ……………………………………………….(I)
daraus y ´= - (b ^ 2 * x ) /(a ^ 2 * y )…..……………………………………. (II)
ein bekanntes Ergebnis.
Wir leiten (I) ohne die 2 nochmals beidseitig nach x ab; es kommt:
b^2 + a^2* ( y ´) ^2 + a^2* y * y ´´ = 0
Auflösung nach y ´´ gibt:
y ´´ = - [ b^2 + a^2* (y ´) ^2 ] / [ a^2 * y ]
Verwendung von (II) ( y´ersetzen) :
y ´´ = - b ^2 * [ a ^ 2* y ^ 2 + b ^ 2* x ^ 2 ] / [a^4 * y^3]
Der Inhalt der ersten eckigen Klammer ist gemäss der Ellipsengleichung
a^2 * b^2; somit erhalten wir als Schlussresultat:
y ´´ = - b^4 / [ a^2 * y^3 ]
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MfG
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Februar, 2002 - 21:32: |
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Hi Jogi,
Ich empfehle Dir, übungshalber auch noch die dritte Ableitung
von y zu berechnen.
Ergebnis zur Kontrolle :
y´´´ = - (3 * b ^ 6 * x) / (a ^ 4 * y ^ 5 )
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MfG
H.R.Moser,megamath |
Jogi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Februar, 2002 - 09:16: |
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Hi H.R.Moser,
danke !
Also auf die zweite Ableitung komme ich inzwischen auch. Bei der Dritten habe ich ein anderes Ergebnis. Ist der Ansatz korrekt, den abgeleiteten Term I abzuleiten, nach y´´´ umzustellen und dann y´´ und y´ einzusetzen ?
y´´´ =-2a2y´´-a2y´y´´ / a2y
[...]
Desweiteren habe ich eine Frage zum Verständnis. Ein normales ableiten dy nach dx war mir natürlich bekannt. Hier heisst d2y doch, dass ich die zweite Ableitung bestimme. Aber wie nach dx2 ? Wo liegt bei der Ableitung der Unterschied zwischen dx und dx2 ? Und abschließend würde mich interessieren warum die 2 aus der ersten Ableitung beim erneuten differenzieren vernachlässigt werden kann ? Kann ich sie einfach ausklammern und auf die andere Seite bringen => 0 ? Müsste dann doch auch mit 2 gehen. Geht mir nur ums Verständnis, würde die Aufgabe nämlich gerne verstehen.
MFG
Jogi |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Februar, 2002 - 15:47: |
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Hi Jogi,
Es sind noch einige Ergänzungen und Erklärungen nötig.
A]
Bei der Gleichung (I)
2 * b^2 * x + 2*a^2* y * y ´ = 0 dividieren wir beide Seiten mit 2 ;
dadurch entfällt der Faktor 2.
B]
Die Schreibweise dy/dx für die erste Ableitung und d2y/dx^2 für die zweite
Ableitung von y = y(x) geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
zurück und darf Dich nicht verunsichern.
Eine andere Bedeutung haben dx, dy einzeln; es sind die ersten Differentiale
von x und y.
Der Begriff des ersten Differentials und derjenige höherer Differentiale
ist ein Thema für sich, auf das ich hier nicht eingehe.
C)
Die dritte Ableitung für die Relation b^2*x^2 + a^2*y^2 = a^2*b^2 der
Ellipse bekommst Du so:
Ausgangspunkt ist die Darrstellung
y ´´ = - b^4 / [ a^2 * y^3 ] aus meiner letzten Arbeit, die wir bruchfrei
schreiben, d.h. :
a ^ 2* y^3 * y´´ + b^4 = 0 ; wir leiten beiderseits nach x ab
(die Konstante b verschwinde beim Ableiten) und erhalten mit der Produktregel:
a^2* [3 * y ^2 * y´ * y’´ + y ^3 * y ´´´ ] = 0 , a ist ebenfalls verschunden,
Ersetzt man y´ und y´´ durch die früheren Ergebnisse und löst nach y´´´ auf,
so kommt:
y´´´ = - (3 * b ^ 6 * x) / (a ^ 4 * y ^ 5
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D]
Wir nützen das Resultat
y ´´ = - b^4 / [ a^2 * y^3 ] aus , um für den Nebenscheitel C(0/b) der Ellipse
den Krümmungsradius r zu berechnen
Dazu benützen wir die bekannte Formel
r = [1 + ( y ´ ) ^ 2 ] ^ (3/2) / y´´
Im Punkt C gilt :
x = 0 , y = b , y ´ = 0 , y ´´ = - b^4 / [ a^2 * b^3] = - b / a^2 .
Damit wird der Betrag von r , wie es sein muss :
r = a ^ 2 / b .
E]
Für die Hyperbel b^2*x^2 - a^2*y^2 = a^2*b^2
Gilt:
y ´ = (b ^ 2 * x ) / (a ^ 2 * y)
y´´ = - b^4 / [ a^2 * y^3 ] (wie bei der Ellipse !)
F]
Für die Parabel y ^ 2 = 2 * a * x gilt:
y´ = a / y
y ´´ = - a ^2 / y^3 .
Ende.
MfG
H.R.Moser,megamath. |
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