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Umkehrfunktion

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chnueschu
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 17:14:   Beitrag drucken

Hallo zusammen!

Kann mir jemand verraten (mit Erklärung natürlich), was die Umkehrfunktion f-1(x) von f(x) ist, wenn gilt:

f:R®R, f(x)=sin(x)-w(x)

w(x) sei die Funktion, die jedem Winkel in Grad den Winkel in Rad zuordnet (z.B. w(180)=p).

Ich schaffe es leider nicht einmal, zu zeigen, dass f(x) injektiv ist.

Herzlichen Dank für die Hilfe.
chnüschu.
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Thomas
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 19:48:   Beitrag drucken

Hallo,

es gilt w(x)=x/360*2*Pi.
Auch beim Sinus zu Beginn rechne ich im Bogenmaß, dann kann ich normal ableiten:

f(x)=sin (x/360*2*Pi) - x/360*2*Pi

f´(x)= 2Pi/360 * cos (x/360*2*Pi) - 2Pi/360
= 2Pi/360 * ( cos... - 1)

Die Ableitung ist also stets <=0. Das garantiert noch nicht direkt die Umkehrbarkeit, aber die Stellen, wo die Ableitung 0 ist, sind isoliert, somit ist die Funktion streng monoton fallend und damit umkehrbar.

Bei der konkreten Darstellung der Umkehrfunktion muss ich leider passen.

Grüße,
Thomas
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chnueschu
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Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 07:25:   Beitrag drucken

Hallo Thomas.

Danke fuer deinen Beitrag.
Darfst du einfach beim Sinus auch x/360*2*Pi einsetzen? Ich glaube nicht wirklich, denn eigentlich willst du ja nur w(x) umschreiben...

Kann mir jemand mit der Umkehrung weiterhelfen?

Danke.
chnueschu
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chnueschu
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Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 12:56:   Beitrag drucken

...kennt niemand die Lösung??
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Orion (Orion)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 13:53:   Beitrag drucken

Hallo chnueschu,

die Funktion f(x) besitzt zwar (s.o.) eine
Umkehrfunktion f^(-1)(x). Es ist aber nicht
möglich, die transzendente Gleichung f(x) = y "explizit" nach x aufzulösen, d.h. für f^(-1)(x) lässt sich kein Funktionsterm (im üblichen Sinne)
angeben. Man könnte aber z.B. eine Potenzreihe
ansetzen und deren Koeffizienten ausrechnen.

mfg

Orion
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chnueschu
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Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 14:50:   Beitrag drucken

Hallo Orion.

Das tönt jetzt ganz spannend!
Ist es dir möglich, mir einen solchen Potenzreihenansatz zu demonstrieren?

Ich stelle mir vor, dass dies ungefähr wie folgt aussehen würde:

sin(x)-x/360*2Pi = [Summe von 0 bis ¥] aixi = y

Das würde heissen, dass
y = [Summe von 0 bis ¥] (-1)nx2n+1/(2n+1)! - x/360*2Pi
= [Summe von 0 bis ¥] (-1)n/(2n+1)!*x2n+1 - Pi/180*x

Stimmt das?
Und wie müsste ich jetzt weitergehen??

chnüschu.
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Orion (Orion)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 18:30:   Beitrag drucken

Hallo chnueschu ,

Man möchte sin(x) - ax = y (a = 2 pi/360) durch
eine Potenzreihe

x = A_0 + A_1*y + A_2*y^2 + ...

lösen. Dazu setzt man formal obige Reihe in
die Potenzreihenentwicklung der linken Seite
ein :

(1-a)x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - + ... = y

<==>

(1-a)(A_0+A_1*y+...) + (1/6)(A_0+A_1*y+...)^3 = y

und versucht, die A_k durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Das führt
offenbar auf mühsame Rechnereien (versuche !).
Ausserdem bleibt natürlich die Konvergenzfrage
zu klären.

mfg

Orion

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