Autor |
Beitrag |
chnueschu
| Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 17:14: |
|
Hallo zusammen! Kann mir jemand verraten (mit Erklärung natürlich), was die Umkehrfunktion f-1(x) von f(x) ist, wenn gilt: f:R®R, f(x)=sin(x)-w(x) w(x) sei die Funktion, die jedem Winkel in Grad den Winkel in Rad zuordnet (z.B. w(180)=p). Ich schaffe es leider nicht einmal, zu zeigen, dass f(x) injektiv ist. Herzlichen Dank für die Hilfe. chnüschu. |
Thomas
| Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 19:48: |
|
Hallo, es gilt w(x)=x/360*2*Pi. Auch beim Sinus zu Beginn rechne ich im Bogenmaß, dann kann ich normal ableiten: f(x)=sin (x/360*2*Pi) - x/360*2*Pi f´(x)= 2Pi/360 * cos (x/360*2*Pi) - 2Pi/360 = 2Pi/360 * ( cos... - 1) Die Ableitung ist also stets <=0. Das garantiert noch nicht direkt die Umkehrbarkeit, aber die Stellen, wo die Ableitung 0 ist, sind isoliert, somit ist die Funktion streng monoton fallend und damit umkehrbar. Bei der konkreten Darstellung der Umkehrfunktion muss ich leider passen. Grüße, Thomas |
chnueschu
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 07:25: |
|
Hallo Thomas. Danke fuer deinen Beitrag. Darfst du einfach beim Sinus auch x/360*2*Pi einsetzen? Ich glaube nicht wirklich, denn eigentlich willst du ja nur w(x) umschreiben... Kann mir jemand mit der Umkehrung weiterhelfen? Danke. chnueschu |
chnueschu
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 12:56: |
|
...kennt niemand die Lösung?? |
Orion (Orion)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 13:53: |
|
Hallo chnueschu, die Funktion f(x) besitzt zwar (s.o.) eine Umkehrfunktion f^(-1)(x). Es ist aber nicht möglich, die transzendente Gleichung f(x) = y "explizit" nach x aufzulösen, d.h. für f^(-1)(x) lässt sich kein Funktionsterm (im üblichen Sinne) angeben. Man könnte aber z.B. eine Potenzreihe ansetzen und deren Koeffizienten ausrechnen. mfg Orion |
chnueschu
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 14:50: |
|
Hallo Orion. Das tönt jetzt ganz spannend! Ist es dir möglich, mir einen solchen Potenzreihenansatz zu demonstrieren? Ich stelle mir vor, dass dies ungefähr wie folgt aussehen würde: sin(x)-x/360*2Pi = [Summe von 0 bis ¥] aixi = y Das würde heissen, dass y = [Summe von 0 bis ¥] (-1)nx2n+1/(2n+1)! - x/360*2Pi = [Summe von 0 bis ¥] (-1)n/(2n+1)!*x2n+1 - Pi/180*x Stimmt das? Und wie müsste ich jetzt weitergehen?? chnüschu. |
Orion (Orion)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 18:30: |
|
Hallo chnueschu , Man möchte sin(x) - ax = y (a = 2 pi/360) durch eine Potenzreihe x = A_0 + A_1*y + A_2*y^2 + ... lösen. Dazu setzt man formal obige Reihe in die Potenzreihenentwicklung der linken Seite ein : (1-a)x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - + ... = y <==> (1-a)(A_0+A_1*y+...) + (1/6)(A_0+A_1*y+...)^3 = y und versucht, die A_k durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Das führt offenbar auf mühsame Rechnereien (versuche !). Ausserdem bleibt natürlich die Konvergenzfrage zu klären. mfg Orion |
|