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Länge einer Raumkurve

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mineraloge
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 14:59:   Beitrag drucken

Hallo!

Ich suche Hilfe bei der Lösung folgender Aufgabe:
Gegeben sei die Raumkurve K in Parameterdarstellung: K= {(x,y,z): x=t+sint, y=pi, z=cost für -pi <= t <= pi}

Welche Länge hat K?
Berechnen sie das Integral (y+x)dx + (x^2+1)dy + (z+z^2)dz

Wäre über eine Antwort mit ausführlichem Lösungweg unendlich dankbar. Steige einfach nich dahinter.

André
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Bertram
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 17:30:   Beitrag drucken

Weshalb willst du dies mit Differentialgleichungen lösen?
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Orion (Orion)
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 17:32:   Beitrag drucken

Hallo Mineraloge,

Hier ist Hilfe zur Selbsthilfe:

1) Die Bogenlänge einer durch die Parameter-
darstellung

x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) ; a <= t <= b

definierten glatten Kurve K ist definiert durch

s = int[a..b]sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)dt.

In unserem Fall lautet der Term unter der Wurzel

(1+cos(t))^2 + (sin(t))^2 = 2 + 2*cos(t)

= 4*(cos(t/2))^2.

2) Das gesuchte Integral ist ein Kurvenintegral,
es fehlt aber die Angabe der betr. Kurve.
Ich nehme einmal an, es handle sich um die Kurve K aus 1). Mittels der Gegebenen Parameter-
darstellung wird das Integral als gewöhnliches
Integral bzgl. der Variablen t geschrieben,
wobei

dx = x'(t)dt , dy = y'(t)dt , dz = z'(t)dt

anzusetzen ist.
Beachte, dass das Intervall [- pi, pi] zum
Nullpunkt symmetrisch ist, daher verschwindet
das Integral einer ungeraden Funktion (z.B.
t , sin(t), t*cos(t)) über dieses Intervall, und
es bleibt fast nichts mehr zu rechnen.

mfg

Orion
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mineraloge
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Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 13:17:   Beitrag drucken

Danke für die Hilfe

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