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Beitrag |
    
Kay Schönberger (Kay_S)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 21:05: | 
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Hallo!
Man entscheide, ob echte Konvergenz vorliegt oder nicht:
Kay S. |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Februar, 2002 - 11:16: |
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Hallo Kai,
Zur ersten Reihe habe ich mir folgendes überlegt:
die fragliche Reihe ist der Imaginärteil der
Reihe
sum[k=1..oo](exp(ki)/k) = - log(1 - e^i).
Die logarithmische Reihe
- ln(1-z) = sum[k=1..oo]z^k/k
konvergiert für alle z != 1 , |z| =< 1. Beweis:
Betrachte für z != 1 und n > 1
S_n(z) := sum[k=1..n]z^k/k.
Dann ist
(z-1)*S_n(z)
= (1/n)z^(n+1) - z + sum[k=2..n]z^k/(k(k-1)).
Daraus folgt die Konvergenz von S_n(z) für n->oo.
mfg
Orion |
Kay Schönberger (Kay_S)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Februar, 2002 - 20:54: |
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Hallo Orion,
Du hast recht! Dein Ansatz ist wirklich gut, man kann den Imaginärteil sogar direkt ausrechnen, es ergibt sich (p - 1)/2!
Selbiger Trick funktioniert bei der zweiten Reihe leider nicht (jedenfalls sehe ich das nicht). Man kann zwar aus der EULER-Formel tan(k)/k durch Division durch k*cos(k) bekommen, erhält aber eine zweite unangenehme Reihe. Vielleicht könnte man Konvergenzkriterien anwenden, mehr dürfte aber nicht drin sein.
Kay S. |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 07:08: |
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Hallo Kay,
Für die tan-Reihe ist mir leider bis jetzt
auch nichts Gescheites eingefallen. Ich vermute,
dass für unendlich viele k in |N : |tan(k)| > k
gilt, woraus die Divergenz folgen würde.
mfg
Orion |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 08:35: |
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Mit meiner Vermutung liege ich wohl doch falsch.
Numerische Werte deuten eher auf Konvergenz.
Maple gibt übrigens als Wert der Reihe
- 24.04810343... an.
Orion |
Kay Schönberger (Kay_S)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 10:29: |
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Hallo Orion,
Ich wäre eigentlich auch eher für die Divergenz der Reihe. Begründung:
Man findet immer ein k, das beliebig dicht an einer Polstelle liegt. Da die Werte von tan(k) quasi umgekehrt proportional zum Abstand k/Polstelle wachsen, ist der Qotient tan(k)/k damit statistisch gesehen etwa konstant.
Von der Statistik her müßte es sogar beliebige Schwankungen geben, von daher ist Dein numerisches Ergebnis wirklich überraschend.
Vielleicht ist das Problem unentscheidbar.
Kay S. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 15:15: |
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Hi Kay,Hi Orion
Zur ersten Aufgabe von Kai ist mir eine Variante eingefallen,
die ich Euch gerne präsentiere.
Man beweise, dass die folgende Reihe für alle Werte von
abs(fi) < Pi konvergiert
sum [(-1)^(k+1) * sin (k * fi) / k ] , k = 1 bis k = infinity
Einerseits entsteht ev. eine Vereinfachung durch das alternierende
Vorzeichen, andrerseits eine Komplikation wegen des Faktors fi.
Für den Beweis habe ich das Abelsche Konvergenzkriterium benützt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 19:07: |
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Hallo megamath,
wenn ich nicht irre, ist Deine Variante wiederum
nichts anderes als der Imaginärteil von
sum[k=1..oo](-1)^(k+1)*z^k/k = log(1 + z)
für z = exp(i*fi), und diese Reihe konvergiert
in allen Punkten z != - 1 des Einheitskreises.
Was die tan-Reihe betrifft, tappe ich immer noch
im Dunkeln.
mfg
Orion |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 19:55: |
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Hi Orion,
die Idee für die Variante habe ich bei der Beschäftigung mit reeller Analysis
gewonnen.
Mir ging es darum, ein geeignetes Beispiel für die Anwendung des
Konvergenzkriteriums von Abel zu erhalten
Es ist natürlich erfreulich, dass die Reihe die Feuertaufe im Komplexen besteht.
Mit der Aufgabe betr. Tangens habe ich mich nicht beschäftigt.
Ich schätze meine Chancen für einen Lösungsweg als minimal.
Stellen wir das Problem zur Disposition !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 03:22: |
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Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 03:27: |
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Hallo,
anbei plots der Reihe bis zu versch. oberen Grenzen.
mfg |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 03:28: |
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Hallo,
anbei plots der Reihe bis zu versch. oberen Grenzen.
Sieht m.E. hier nicht mehr nach Konvergenz aus.
mfg |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 13:30: |
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Hier noch eins bis zu k=10^8
Gruß, Xell |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 13:34: |
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Hier noch eins bis zu k=10^8
Gruß, Xell |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 14:20: |
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Hallo Xell,
Ich habe eine Bitte:
könntest Du auch die Konvergenz der Reihe
sum [cotg (1 / 2^k) / 3 ^ k], k=1..unendlich
anschaulich darstellen ?
Die Konvergenz ist garantiert !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 14:34: |
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Hi,
Hier noch ein Nachtrag: t_100M ist die tan-Reihe bis k=10^8.
co_i meint je den plot mit oberer Grenze i von deiner cot-Reihe.
Hoffen wir, dass die Bilder jetzt klappen !
Deine Reihe kovergiert "eher", dem Bilde nach zu urteilen.
mfg, Xell |
Kay Schönberger (Kay_S)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 17:08: |
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Xell,
Nach Deiner Grafik wird das Verhalten der Reihe nur von einigen wenigen k-Werten beeinflußt. Daraufhin habe ich mal die k's bis 109 untersucht. Kritische Punkte sind
k = 11, 33, 52174, 260515, 573204, 42781604, 122925461, 534483448, ...
Jede dieser Punkte verändert den Reihenwert beträchtlich. Also eine chaotische Reihe, die wohl kaum konvergieren dürfte.
Kay S. |
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t_1k
