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Formulator (Formulator)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 03:09: | 
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Diese Aufgabenstellung war hier schon mal diskutiert worden, allerdings mit diskreten Einzelschritten statt einer kontinuierlichen Bewegung. Hier also noch mal die Aufgabe:
Eine Schnecke (abstrakt punktförmig gedacht) steht am fixierten Ende eines zum Ausgangszeitpunkt 10 m langen idealen (unbegrenzt gleichmäßig dehnbaren) Gummibandes. Die Schnecke kriecht mit einer konstanten Eigengeschwindigkeit (relativ zum Band) von 1 mm/s los, während gleichzeitig begonnen wird, das Band am freien Ende gleichmäßig mit 1 m/s zu dehnen (d.h. das Band wird pro Sekunde um 1 m länger gezogen).
Erreicht die Schnecke jemals das "vordere" Ende des Gummibandes und wenn ja wann?
Habe an dieser Aufgabe schon eine Weile rumgerechnet, allerdings ohne durchschlagenden Erfolg ... Wahrscheinlich war schon meine Ausgangsgleichung nicht in Ordnung.
Bin dankbar für jede Idee. |
Friedrich Laher (Friedrichlaher)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 12:26: |
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ausgedrückt als relative Bandlänge/s ist die Geschwindigkeit der Schnecke
0.001/(10+t)
die nach der Zeit T überwundene relative Bandlänge also
10-3ò0 Tdt/(10+t)
=
10-3[ln(10+T)-ln(10)] = 1, aufzulösen nach T
10³= ln(1+T/10)
e^(10³)= 1+T/10
T = 10(e^(10³)-1)
= ungefähr
1.9700711140170469938888793522433231
2531693798532384578995280299138506385078244
119347497807656302689*10435 sekunden
ungefähr =6.247054521870392547846522552775631422237880470
966025462813302230419405919528288918933847274743
235952*10427 Jahre
ist das wirklich eine U-level Aufgabe oder meine
Lösung doch falsch????? |
Bju Ti
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 16:19: |
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Hallo,
Hier mein Vorschlag, der stark von Friedrichs Vorschlag
abweichen mag. Immerhin sind wir uns einig, dass die Schnecke
in endlicher Zeit das lose Ende erreicht.
Die Länge l des Bandes in Abhängigkeit von der Zeit t ist:
Ich rechne standardisiert mit m und s.
l(t) = 10 + t
Die Strecke s, die die Schnecke innerhalb von t Sekunden
zurückgelegt hat, beträgt:
s(t) = (10 + t)/10 * 10^(-3) * t
M.E. liegt der Fehler in F.s Ansatz darin, dass man sich
überlegen muss, dass sich das Band gleichmäßig ausdehnt,
also auch der bereits zurückgelegte Weg der Schnecke.
Nach einer Sekunde hätte die Schnecke damit den Weg
s(1) = 11/10 * 10^(-3)
zurückgelegt, da sich der zurückgelegte mm um 10% "verlängert"
hat. Ebenso gilt dann s(2) = 12/11 * 11/10 * 10^(-3) * 2 = 12/10 * 10^(-3) * 2.
Damit erkennt man leicht obige Formel für s(t).
Die "Abbruchbedingung" ist nun, dass s(t_0)=l(t_0) ist,
denn dann hat die Schnecke das Bandende erreicht.
Also:
(10 + t)/10 * 10^(-3) * t = 10 + t
...
Auflösen nach t liefert t=10^5 s, die gleiche Zeit, die
die Schnecke gebraucht hätte, wäre das Seil nicht gedehnt worden !
Schaut es euch mal an, vielleicht findet ja wer einen Fehler
oder es geht ihm/ihr ein Licht auf. :-)
Grüße, Bju Ti |
Rainer (Formulator)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 17:06: |
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1. Vielen Dank für die schnelle Antwort.
2. Die erwähnte vergleichbare Aufgabe mit diskreten Schritten hatte ich im Bereich Denksport gefunden, mit "hier schon mal diskutiert" war deshalb der Bereich Denksport gemeint, und dort sollte auch dieser neue Beitrag dazu hin. Dass er im "Nachbarbereich" U-Niveau gelandet ist, war ein Fehler, den ich nur mit der Uhrzeit erklären kann und für den ich um Entschuldigung bitte. Um so netter war es, trotzdem eine so kompetente Antwort zu erhalten, vor allem mit dieser Präzision im nummerischen Ergebnis (die ersten eintausend Stellen hätten es auch getan ... J )
3. Diese Aufgbe hat sicher nicht U-Niveau, dass es SO einfach ist, hätte ich allerdings nicht gedacht. Man muss auf diese Idee und die Ausgangsformel mit der relativen Bandlänge kommen ...
4. Es war auch nicht wirklich intelligent von mir, die Aufgabe überhaupt mit konkreten Zahlen zu stellen (vor allem nicht mit Zahlen, die zu solchen Größenordnungen führen). Eine allgemeine symbolbasierte Aufgabenstellung wäre wahrscheinlich sinnvoller gewesen. Zum Beispiel
vS = Eigengeschwindigkeit der Schnecke
vB = Dehngeschwindidgkeit des Bandes
a = Anfangslänge des Bandes
Also
relative Bandlänge/s: vS/(a+vBt)
und deshalb
vS ò0 T dt/(a+vBt) = 1
vS [(1/vB)ln(a+vBT)-(1/vB)ln(a)] = 1
(vS/vB)[ln(a+vBT)-ln(a)] = 1
vB/vS = ln(1+(vBT/a))
e^(vB/vS) = 1+(vBT/a)
T = (a/vB) (e^(vB/vS)-1)
Ist das so akzeptabel ...??
Nochmals vielen Dank! |
Bju Ti
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 17:53: |
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Hi Rainer,
Hast du dir meinen Einwand überhaupt mal angesehen ?
Gruß, Bju Ti |
Rainer (Formulator)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 19:39: |
|
Hallo Bju Ti
Ich hatte mein 2. Posting mithilfe eines externen Editors vorbereitet und dann abgeschickt, ohne zuerst noch einmal auf allfällige zwischenzeitlich neue Einträge zu achten. Dies sollte keine Geringschätzung oder Missachtung Deines Beitrags sein, ich hatte ihn einfach nicht gesehen.
Inhaltlich glaube ich, dass Du nicht Recht hast.
Dein Ansatz bedeutet (wie Du ihn richtig interpretiert hast), dass die Schnecke durch den Mitzieheffekt das vordere Bandende in der gleichen Zeit erreicht, wie wenn das Band gar nicht gedehnt worden wäre.
Dies ist aber unmöglich.
Machen wir einen Plausibilitätstest mit anderen Ausgangswerten:
Anfangslänge des Bandes: 1 m
Dehngeschwindigkeit: 1 m/s
Eigengeschwindigkeit der Schnecke 1 m/s
Deine Formel wird dann zu
(1+t)/1 * 1 * t = (1+t)
Lösung: t = 1
Bei diesen Werten würde die Schnecke bei nicht gedehntem Band das vordere Ende also nach 1 s erreichen. Wenn Sie das Bandende bei gedehntem Band ebenfalls nach 1 s erreichen soll, muss sie in dieser einen Sekunde 2 m zurücklegen (1 m Anfangslänge + 1 m Dehnung während dieser Sekunde).
Die Schnecke muss sich absolut also mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 2 m/s fortbewegen.
Dies ist aber nicht möglich.
Diese 2 m/s sind die maximale absolute Geschwindigkeit der Schnecke, die sie erst im allerletzten infinitesimalen Moment des "Einholens" des vorderen Bandendes erreicht (1 m/s Eigengeschwindigkeit + 1 m/s Geschwindigkeit des vorderen Bandendes).
Die ganze Zeit davor, wenn sie noch irgendwo zwischen den Bandenden kriecht, bewegt sie sich absolut langsamer als diese zu erreichende Durchschnittwgeschwindigkeit von 2 m/s.
Sie könnte die 2 m/s Durchschnittsgeschwindigkeit nur erreichen, wenn sie sich irgendwann auch schneller bewegen würde als 2 m/s. Das kann sie aber nicht --> Widerspruch !!
Ich bin kein begnadeter Mathematiker :-), aber ich bin doch ziemlich sicher, dass diese Aufgabe nicht durch lineare Gleichungen zu lösen ist.
Gruß
Rainer |
Bju Ti
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 22:20: |
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Hallo Rainer,
---Du schriebst:---
Hallo Bju Ti
Ich hatte mein 2. Posting mithilfe eines externen Editors vorbereitet und dann
abgeschickt, ohne zuerst noch einmal auf allfällige zwischenzeitlich neue Einträge zu achten. Dies sollte keine Geringschätzung oder Missachtung Deines Beitrags sein, ich hatte ihn einfach nicht gesehen.
---Kein Problem, hatte mir schon sowas ähnliches gedacht.
Vergessen! ---
Inhaltlich glaube ich, dass Du nicht Recht hast.
---Da es hier weniger um "glauben" als um "wissen" geht,
werde ich mich bemühen.---
Dein Ansatz bedeutet (wie Du ihn richtig interpretiert hast), dass die Schnecke durch den Mitzieheffekt das vordere Bandende in der gleichen Zeit erreicht, wie wenn das Band gar nicht gedehnt worden wäre.
Dies ist aber unmöglich.
---Aha !?---
Machen wir einen Plausibilitätstest mit anderen Ausgangswerten:
Anfangslänge des Bandes: 1 m
Dehngeschwindigkeit: 1 m/s
Eigengeschwindigkeit der Schnecke 1 m/s
Deine Formel wird dann zu
(1+t)/1 * 1 * t = (1+t)
Lösung: t = 1
---Richtig. Dies zeigt, dass du meinen Ansatz verstehst
und problemlos verallgemeinerst.---
Bei diesen Werten würde die Schnecke bei nicht gedehntem Band das vordere Ende also nach 1 s erreichen. Wenn Sie das Bandende bei gedehntem Band ebenfalls nach 1 s erreichen soll, muss sie in dieser einen Sekunde 2 m zurücklegen (1 m Anfangslänge + 1 m Dehnung während dieser Sekunde).
Die Schnecke muss sich absolut also mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 2 m/s fortbewegen.
Dies ist aber nicht möglich.
---Hmm...---
Diese 2 m/s sind die maximale absolute Geschwindigkeit der Schnecke, die sie erst im allerletzten infinitesimalen Moment des "Einholens" des vorderen Bandendes erreicht (1 m/s Eigengeschwindigkeit + 1 m/s Geschwindigkeit des vorderen Bandendes).
Die ganze Zeit davor, wenn sie noch irgendwo zwischen den Bandenden kriecht, bewegt sie sich absolut langsamer als diese zu erreichende Durchschnittsgeschwindigkeit von 2 m/s.
Sie könnte die 2 m/s Durchschnittsgeschwindigkeit nur erreichen, wenn sie sich irgendwann auch schneller bewegen würde als 2 m/s. Das kann sie aber nicht --> Widerspruch !!
Ich bin kein begnadeter Mathematiker :-), aber ich bin doch ziemlich sicher, dass diese Aufgabe nicht durch lineare Gleichungen zu lösen ist.
---Überlegen wir uns, wo die Schnecke nach 0,1s ist:
Sie ist 0,1m gekrochen, allerdings hat sich in der Zeit
die Länge des Bandes um 10% erhöht, also ist die Schnecke
bei s'(1)=0,11m. Nach 2 Sekunden aus selbigen Gründen
bei s'(2)=0,24 usf. Damit erreicht die Schnecke das Ende
ganz regulär nach 1s, ob mit oder ohne Zerren am Band.---
Es gibt nun zwei Möglichkeiten:
a) Es liegt ein fundamentaler Fehler in meinen Gleichungen,
den ich übersehe im "Wahn", die Richtigkeit eben dieser zu zeigen.
b) Ich habe Recht.
Ich lasse mich gerne widerlegen. Man zeige mir dafür den
grundlegenden Fehler meines Gedankens auf. :-)
Grüße, BT |
Rainer (Formulator)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 01:05: |
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Grundsätzlich zur Methodik von Beweis und Falsifikation (wir sind hier durch mein Versehen in einem U-Level-Board, wir sollten also versuchen, uns nicht allzu sehr zu blamieren J ):
Ich habe (wie ich finde schlüssig) gezeigt, dass Deine Lösung zu einem Widerspruch in sich selbst führt und deshalb nicht richtig sein kann.
So lange Du diesen Widerspruch nicht ausräumen kannst (und das hast Du nicht einmal versucht), muss Deine Lösung als falsch gelten. Nicht ich (oder wer auch immer) muss Dir den Fehler in Deinen Überlegungen aufzeigen, Du musst den Widerspruch in deiner Argumentation auflösen.
Wo liegt denn der Fehler in meiner Darlegung des Widerspruchs in Deiner Lösung??
Trotzdem werde ich versuchen, Dir zu erklären, wo der Fehler in Deinen Überlegungen liegt.
Du sagst, nach 0,1 s ist die Schnecke 0,1 m selbst gekrochen, " ... allerdings hat sich in der Zeit die Länge des Bandes um 10% erhöht, also ist die Schnecke bei s'(1)=0,11 m."
Dies ist falsch. Die Schnecke ist nicht so weit.
Sie wäre nur dann bei 0,11 m, wenn sie schon zum Zeitpunkt t = 0 - also bei einer gesamten Bandlänge von 1 m - bei 10 % davon - also bei 0,1 m - gewesen wäre, denn nur dann hätte sie von der Dehnung des Bandes um 0,1 m mit den vollen 10 % davon, also 0,01 m profitieren können. Die Schnecke kann nur dann mit 10 % von der Dehnung des Bandes profitieren, wenn sie bereits 10 % der gesamten Bandlänge hinter sich hat. Um von einer Dehnung des Bandes mit vollen 10 % eigenen Wegzuwachses profitieren zu können, müsste die Schnecke während des gesamten Vorgangs der Banddehnung, also bereits zu dessen Beginn, 10 % des Bandes, d.h. 0,1 m überwunden haben, denn da sie ja zu keiner Phase während dieser ersten Zehntelsekunde weiter als 10 % der Gesamtlänge gekommen ist, kann sie "versäumte Prozente" nicht mehr aufholen .
Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Schnecke aber bei 0 m. Wenn sie los kriecht und das Band gleichzeitig zu dehnen begonnen wird, ist die Schnecke erst eine infinitesimale Strecke weit gekommen und kann praktisch noch nicht von der Dehnung profitieren. Dies wird erst nach und nach etwas besser, 10 % "Profitiermöglichkeit" erreicht sie aber erst, nachdem sie schon 10 % der Gesamtlänge zurückgelegt hat, wobei wir nicht vergessen dürfen, dass das Band ja ständig länger wird, d.h. nach 0,1 s ist die 10 %-"Marke" nicht bei 0,1 m, sondern erst bei 0,11 m, die erreicht sein müssen, bevor die Schnecke mit 10 % von der Dehnung weiter profitieren kann. Sie ist deshalb nach 0,1 s ein wenig weiter als die alleine geschafften 0,1 m, aber keine 10 % weiter.
Deine Lösung tut so, als ob die Schnecke zuerst (bei unveränderter Bandlänge) 0,1 s lang ihre 0,1 m kriecht und dann das Band schlagartig um 10 % gedehnt wird. Nur dann könnte die Schnecke von der Dehnung voll profitieren.
Dies ist aber eben gerade NICHT die eigentliche Idee hinter dieser Aufgabenstellung kontinuierlicher Bewegung von Schnecke und gleichmäßiger Banddehnung.
Wenn Du an Deinem Lösungsvorschlag festhalten möchtest :-), dann
a) widerlege doch bitte meine Darstellung des Widerspruchs in Deiner Argumentation
und
b) gib uns bitte Deine Formeln für den gesamten zurückgelegten Weg der Schnecke und für die aktuelle Gesamt-Geschwindigkeit der Schnecke an, jeweils als Funktion der Zeit. Dann sehen wir weiter.
Bis dann
Rainer |
Bju Ti
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 14:32: |
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Hi Rainer,
Da es sich um eine k o n t i n u i e r l i c h e Bewegung handeln
soll, ist meine Lösung natürlich falsch. Wie du mit Recht
einwendest, betrachte ich zuerst das Kriechen der Schnecke,
was nicht mit der fließenden Bewegung im Einklang steht.
Die Integrallösung ist daher die richtige.
Über deine Belehrung bezüglich "allgemeiner Verfahrensfragen"
sehe ich hinweg, da du mir den Unterschied in unseren
Experimentabläufen deutlich machen konntest. ;-)
Ich denke, deine verallgemeinerte Lösung geht dann so
in Ordnung.
Grüße, BT |
therealthingsthatmatters
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 14:35: |
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Bevor ihr euch hier den Kopf zerbröselt sollte ihr mal nachdenken was passiert wenn das Band nach 1 Stunde losgelassen wird.
a) Bestimmer die maximale Beschleunigung der Schnecke ( Hinweis: E=m*c^2 )
b) Sei am fixen Ende eine Wand, auf wieviel Quadratmeter wird die Schnecke verteil? m=27g V=0.01l
c) Was würde passieren wenn ein ein Elefant auf den Gummiseil säße ?
Viel Spaß auf dem Board ... |
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