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Beitrag |
    
Tiffany (T_L)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Februar, 2002 - 19:32: | 
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Hallo,
Kann mir jemand erklären, wie man am besten f(x) = 1/(sin x + 2) integriert? Vielleicht ist es zu einfach, aber ich sehe einfach den Lösungsweg nicht.
Tiffany |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Februar, 2002 - 21:27: |
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Hi Tiffany,
Naheliegend ist die Substitution t = tan(x/2). Durch Umformung
gewinnen wir die Beziehung
sin x = 2 t / ( 1 + t ^2 ) ; sin x ist somit rational durch t ausgedrückt,
was sich als nützlich erweisen wird
(auch cos x und tan x lassen sich auf diese Art rational durch t
ausdrücken ).
Für die Differentiale d x und dt erhalten wir die Beziehung
dx = 2* dt / (1+ t ^ 2 ).
Setzt man dies ein ,so entsteht das Integral in t:
J = int [ 1 / {t ^2 + t + 1} * dt
Der Integrand ist eine gebrochene rationale Funktion mit komplexen
Nullstellen des Nenners .
Man findet in Tabellen oder auch von Hand :
J = 2 / wurzel(3) * arc tan [( 2 t + 1) / wurzel(3) ]
Ersetzt man darin t durch tan (x/2) , so erhält man als Schlussresultat:
J = 2 / wurzel(3) * arc tan [(2 * tan(x/2) + 1) / wurzel(3) ]
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Tiffany (T_L)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 10:18: |
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Hallo Megamath,
Aber wie bist du denn auf diese Substitution gekommen? Naheliegend wäre doch eher eine Substitution wie z = sin x (bringt's aber nicht). Auf tan(x/2) kommt man doch nicht aus dem Stegreif...
Tiffany |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 15:36: |
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Hi Tiffany,
Du kannst die von mir verwendete Methode Dir selbst aneignen
und bei Gelegenheit selbst einsetzen, meistens mit Vorteil.
Sie wird in Insiderkreisen aus folgendem Grund, den ich bei der
Lösung auch angedeutet habe, verwendet.
Alle trigonometrischen Funktionen
sin x , cos x , tan x , ctg x samt dem Differential dx lassen sich durch
t = tan (x/2) rational, insbesondere ohne Quadratwurzeln, ausdrücken.
Es gilt:
sin x = 2 t / (1+ t^2), cos x = ( 1 – t ^2 ) / ( 1 + t ^2 )
tan x = 2 t / (1 - t^2)
Das sind die so genannten Rationalisierungsformeln der Goniometrie.
Für das Differential dx gilt:
dx = 2 d t / (1+ t^2).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 10:33: |
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Hi Tiffany,
Analoge Rationalisierungsformeln gibt es auch für die hyperbolischen Funktionen
sinh(x), cosh(x),tanh(x).
Mit T = tanh (x/2) kommt:
sinh (x) = 2 T / (1 – T ^2)
cosh x = ( 1 + T ^ 2 ) / ( 1 - T ^ 2 )
tanh x = 2 T / (1 + T ^ 2)
Für das Differential erhalten wir :
dx = 2 d T / (1- T ^ 2).
Auf Wunsch leite ich diese und die vorausgehenden Formeln gerne her.
Zum Abschluss setze ich übungshalber die Methode der Substitution
t = tan (x/2) bei einem hübschen Beispiel ein, bei welchem andere Methoden
vielleicht sogar schneller zum Ziel führen würden.
Man berechne das unbestimmte Integral
J = int [ ( x + sin x ) / (1 + cos x ) * dx ] ;
die Substitution mit den Rationalisierungsformeln führt wegen
x = 2 arc tan t nach Vereinfachungen auf
J = 2 * int [{arc tan t + t / (1+t^2)} * dt ]
= 2 * [ t * arc tan t – ½ *ln (1+t^2 ) + ½ *ln (1+t^2 ) ] =
= 2 * t * arc tan t ; mit Rücksubstitution kommt:
J = x * tan(x/2)
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MfG
H.R.Moser,megamath |
Lendo (Lendo)
Mitglied
Benutzername: Lendo
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 05-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2007 - 16:02: |
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Sehr hilfreich, Danke
Die alte philosophische Frage "Was ist wirklich?" ist beantwortet.
Wirklich ist alles, was offline geschieht!
- L E N D O -
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