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Beitrag |
    
Florian Moebes (Florian_M)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Februar, 2002 - 19:18: | 
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Hi
Gibt es eigentlich eine Möglichkeit, Partialsummen der harmonischen Reihe
Sk n=1 1/n direkt auszurechnen, ohne erst die Reihe selbst zu bemühen?
FM |
Friedrich Laher (Friedrichlaher)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 12:33: |
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näherungsweise durch Integration |
Kay Schönberger (Kay_S)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 18:49: |
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Hi
Es gibt auch eine exakte Integraldarstellung:
Die nützt bloß nichts.
Man werfe aber mal einen Blick in M. Artin: Algebra, S. 686. Da wird behauptet, mittels Induktion könne man eine geschlossene Form herleiten. Ich hab' es versucht, kam aber leider auch nicht weiter.
Kay S. |
Xell
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 03:18: |
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Hallo,
Es gilt näherungsweise:
sum(n=1..k) 1/n = ln(k) + gamma; gamma = 0.5772156649...
Hier ein paar Werte:
(sum_k := sum(n=1..k) 1/n; ln_k := ln(k) + 0,577)
sum_10 = 2,928...
ln_10 = 2,879...
sum_100 = 5,187...
ln_100 = 5,182...
sum_500 = 6,792...
ln_500 = 6,791...
sum_2000 = 8,178...
ln_2000 = 8,178...
Man sieht hier, dass die Differenz zwischen sum_k und ln_k
kleiner wird für wachsendes k. Das liegt ganz einfach an
der Definition von gamma:
gamma := lim[n->oo] ( sum_k - ln(k) )
Damit ist dann lim[n->oo] sum_k - ln_k = 0.
gamma ist geometrisch als die Differenz der Obersumme
von f(x)=1/x auf [1;oo] vermindert um das Integral selbiger
Funktion in den Grenzen [1;oo] anzusehen.
Grüße, Xell |
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