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Beitrag |
    
Mompti
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Februar, 2002 - 00:40: | 
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Hallo, es heißt:
Eine Differentialgleichung P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 ist
exakt, wenn die partiellen Ableitungen von P und Q "kreuzweise" übereinstimmen:
Py = Qx ; Ist eine DGL nicht exakt, lässt sich aber ein Faktor M(x,y) finden, für den gilt: (MP)y = (MQ)x, dann ist die DGL M(x,y)*P(x,y) dx + M(x,y)*Q(x,y) dy = 0 exakt, besonders einfach lässt sich ein solcher Faktor finden, wenn er entweder a) nur von x oder b) nur von y abhängt, oder angeblich, wenn ein paar weitere Fälle (c, d) zutreffen.
Zur Theorie, die hinter zweien (c, d) dieser weiteren Fälle steht, habe ich eine Frage.
Um diese Frage besser erklären zu können, möchte ich kurz den Beweis der Wirksamkeit des integrierenden Faktors vorführen, so wie ich ihn verstanden habe: angenommen, es gibt einen integrierenden Faktor M(x,y)=M(x), der die DGL exakt macht und der nur von x abhängt.
Dann gilt: (MP)y = (MQ)x => M*Py = Mx*Q + M*Qx => M*Py - M*Qx = Mx*Q
also
(Py - Qx) / Q = Mx/M
auf der rechten Seite steht ein Ausdruck, der nur von x abhängig ist, und daher wohl wird im Bronstein behauptet:
a) Ist (Py - Qx) / Q eine reine Funktion von x, so existiert M(x,y)=M(x).
Klar.
Analog liefe der Beweis im Fall b) M(x,y)=M(y) ab, wenn der Quotient (Py - Qx) / P eine reine Funktion von y wäre, nur: jetzt stehen dort noch zwei Fälle:
c)
(Py - Qx) / (Qy - Px) = f(x*y), man kann dann also einen integrierenden Faktor
M(x,y)=M(x*y) finden, der vom Produkt aus x und y abhängt.
Mein Problem ist: wie kommen die auf ihre Behauptung, die im Fall a) und b)
so klar nachvollziehbar gewesen ist?
Hier weiß ich nicht, wie ich einen Faktor M(x,y) = M(x*y) partiell nach x oder y ableiten soll, bevor ich weiß, wie dieser Faktor genau aussieht.
Er könnte doch auch z.B. ein (1+ x*y) im Nenner haben oder ein x*y im exp(...), und dann wäre meiner Meinung nach gar nicht so leicht einer zu finden ...?
im Fall d) steht noch: (Py - Qx) *x²/(Qy + Px) = f(y/x) => es ex. M(x,y) = M(y/x)
Ich denke, wenn ich in der Lage wäre, Fall d) zu verstehen, könnte ich mir Fall c) selbst erklären. |
Mompti
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Februar, 2002 - 19:18: |
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Ich glaube, ich habs gefunden:
c) M(x,y) = M(x*y)
ich benutze die runden ¶ für partielle Ableitung Mx = ¶M/¶x etc.
setze z=x*y und bilde ¶M/¶x = ¶M/¶z * ¶z/¶x,
¶z/¶x = y
=> ¶M/¶x = y¶M/¶z
analog wird
¶M/¶y = x¶M/¶z
Die Differentialgleichung (MP)dx + (MQ)dy =0 ist exakt, wenn
¶(MP)/¶y = ¶(MQ)/¶x gilt.
umgeformt:
P ¶M/¶y + M ¶P/¶y = Q ¶M/¶x + M ¶Q/¶x
M ¶P/¶y - M ¶Q/¶x = Q ¶M/¶x - P ¶M/¶y
M ( ¶P/¶y - ¶Q/¶x ) = Q ¶M/¶x - P¶M/¶y (*)
Diese Gleichung muss bei Exaktheit immer gelten.
Mit Ausdrücken für ¶M/¶x und ¶M/¶y von oben ersetzt:
M ( ¶P/¶y - ¶Q/¶x ) = ( Qy - Px ) ¶M/¶z
1/( Qy - Px ) ( ¶P/¶y - ¶Q/¶x ) = 1/M * ¶M/¶z
auf der rechten Seite steht ein Ausdruck, der nur vom Produkt x*y abhängt, wenn M(x,y) auch nur von diesem Produkt abhängt.
Daher gilt die Behauptung im Fall c) |
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