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Allgemein: Beweis von Stetigkeit

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Verena A. (Blondiva)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 23:47:   Beitrag drucken

Hilfe!
Wie beweist man dass eine Funktion stetig ist:
Beispiel: f(x)= (x^2+1)^3 fuer x=>0
(x^3+1)^2 fuer x<0 ?
Von beiden Seiten? Und in 3 Faellen? (x>0, x<0, x=0)
Wuerde mich ueber Hilfe sehr freuen, ich bin mal wieder am verzweifeln...! :-(
Vielen Dank,

VA
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Patrick
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Februar, 2002 - 12:11:   Beitrag drucken

Hallo Verena.

Die Stetigkeit einer Funktion im Punkt a ist folgendermaßen definiert:

Zu d>0 gibt es e>0, so daß für alle x gilt:
|x - a|<d => |f(x) - f(a)|<e

Wenn Du die Funktion auf gleichmäßige Stetigkeit untersuchst, wählst Du einfach beliebige x, y mit |x-y|<d.

Jetzt mußt Du für eine konkrete Funktion nur |f(x) - f(a)| berechnen und das ganze sinnvoll abschätzen.

Einfaches Beispiel: f(x) = x^2

Sei |x-a|<d. e:=d*(a+d)

=> |x^2-a^2| = |(x-a)*(x+a)| < d*(a+d)=e.

f ist also in jedem Punkt a per Definition stetig.

Der Nachweis gleichmäßiger Stetigkeit ist manchmal kniffliger. Hier muß Du im Zweifelsfall zwei Folgen, deren Differenz gegen Null geht, in die Funktion einsetzen und zeigen, daß dann auch die Differen der Funktionswerte gegen Null geht.

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