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chri
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Februar, 2002 - 20:06: | 
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Habe hier eine Differtentialgleichung
y'+2xy = 4x*exp x²
ich soll die Lösung an die Anfangsbedingung
y(0)=1 anpassen
Könnt ihr mir eine nachvoll ziehbare Lösung erstellen da ich noch so ein paar Bsp. habe.
Ich wäre euch sehr dankbar
mfg
chri |
Mompti
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Februar, 2002 - 21:27: |
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Das geht mit der gleichen Substitution wie auf
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/26002.html#POST87919 beschrieben:
z=ex² setzen, dann ist dz/dx = 2x*z, und in
y'=dy/dx = (dy/dz)*(dz/dx) eingesetzt dann:
y' = (dy/dz)*2x*z => aus
y'+2xy = 4x*exp(x²) wird:
(dy/dz)*2xz + 2xy = 4xz | : (2x)
z* dy/dz + y = 2z
homogener Teil der Gleichung: z* dy/dz + y = 0
separierbar => dy/dz = -y/z => dy/y = -dz/z =>
ln|y| = -ln|z| + â
y = a/z mit a=exp(â)
spezieller Ansatz für partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung: von derselben Ordnung wie Störterm 2z, also linear in z:
y(z) = bz + c
y' = b, einsetzen in z* dy/dz + y = 2z =>
z* b + bz +c = 2z, Koeff.-vgl.
z*b + bz = 2z, c*1=0
=> b=1, c=0
allgemeine Lösung = (Lösung der homogenen Gleichung) + (part. Lös. der inhom. Gleichung)
y(z) = a/z + 1z
resubst: z=exp(x²)
=> y(x) = a*exp(-x²) + exp(x²)
Anfangsbedingung y(0)=1:
y(0) = a*exp(0) + exp(0) = 1
=> a+1 = 1 => a=0
=> y(x) = exp(x²)
richtig, megamath? |
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