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Beweisführung für Grenzwert

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Beweisführung für Grenzwert « Zurück Vor »

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Remo
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 14:34:   Beitrag drucken

Hallo

Beim Beweis der folgenden Behauptung komme ich auf keinen Ansatz.
Kann jemand mir bitte helfen ?
s(x) sei die Summe der unendlichen Reihe
s(x) = x + x^3 / 3 + x^5 / (3*5) + x^7/ (3*5*7) + x^9 / (3*5*7*9) +..
Man beweise: der Grenzwert des Quotienten s(x) / e^(x^2 /2) für x gegen
unendlich ist ½* wurzel(2*Pi).

MfG
Remo
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 19:19:   Beitrag drucken

Hi Remo,

Wir kontrollieren die Aussage in Deiner Aufgabe mit Maple.
Die Eingaben sind direkt und wörtlich übernommen.
u:=x ^(2*k+1);
v:=product(2*j+1,j=0..k);
q:=u/v
w:=sum(q,k=0..infinity);
g:=e^(x^2/2);
R:=limit(w/g,x=infinity);
Resultat:
R = 1/2sqrt(2)*sqrt(Pi)
= = = = = = = = = = =

MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Freitag, den 08. Februar, 2002 - 10:13:   Beitrag drucken

Hi Remo,

Da E = ½ * wurzel(2*Pi) auch als Wert des bekannten Integrals
int[e^(- ½ x^2) *dx ] (untere Grenze 0, obere Grenze unendlich ) auftritt,
ist es naheliegend, zuerst die Funktion
y = y(x) = e^ (½ x^2 ) * int[e^(- ½ x^2) *dx ] (untere Grenze 0, obere Grenze x )
näher zu untersuchen.
Achtung :beim letzten Integral ist die obere Grenze nicht unendlich ,sondern x !!
Wir bilden mit der Produktregel die erste und zweite Ableitung von y(x):
Zur Abkürzung setzen wir
int[e^(- ½ x^2) *dx ] (untere Grenze 0, obere Grenze x) = J(x) .
Resultate in vereinfachter Form:
y´(x) = x* e^ (½ x^2 )*J(x) + e^ (½ x^2 )* e^(- ½ x^2) = x * e^ (½ x^2 )*J(x) + 1
y´´(x) = e^ (½ x^2) * J(x) + x^2 * e^ (½ x^2 ) * J(x) + x

Bildet man nun die Differenz D = y ´´ - y so erhält man
D = x^2 * e^ (½ x^2 ) * J(x) + x = x * [x * e^ (½ x^2 )*J(x) + 1]
In der letzten eckigen Klammer steht y´ , somit erfüllt y = y(x) die Differentialgleichung
y´´ - x * y ´- y = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Das ist eine wertvolle und weitreichende Information !
Wir suchen jetzt aber nicht etwa die allgemeine Lösung dieser DGL. in geschlossener Form,
sondern beschreiten den etwas mühsamen Weg der Auflösung mit Hilfe eines
Potenzreihenansatzes.
Für y(x) gelte y = sum [a(k)*x^k],Summationsindex hier und später : k = 0 bis unendlich.
a(k) ist der allgemeine Koeffizient ak bei x ^ k
Die Ableitungen sind :
y ´ = sum [a(k)*k * x^(k-1)], y ´´ = sum [a(k)*k*(k-1)x^(k-2)] ;setzt man diese
Summen in die DGL. ein und ordnet, so kommt:
sum[{(k+2)*(k+1)*a(k+2) –k*a(k) –a(k)}*x^k] = 0 daraus entspringt
(Koeffizientenvergleich) eine Rekursionsformel für die Koeffizienten a(j), nämlich:
(k+2)*(k+1)*a(k+2) – (k+1)*ak = 0 ( k = 0,1,2,3,....)
oder in Bruchform L (bitte Index in a(k+2) nicht mit dem Faktor (k+2) verwechseln!)
a(k+2) = a(k) / (k+1) ( k = 0,1,2,3,....)…………………………………………………®
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Die beiden ersten Koeffizienten a(0) = ao und a(1) = a1 seien gegeben .
Wir drücken gemäss der Formel ® die folgenden Koeffizienten durch ao und a1 aus:
a(2) = ½ * ao
a(3) = 1/3 * a1
a(4) = 1/ (2*4) * ao
a(5) = 1/ (3*4) * a1
u.s.w.
Einsetzen in den Ansatz und ordnen gibt die allgemeine Lösung
y = ao * [1 + x^2 /4 + x^4 / (2*4) + x^6 / (2*4*6) +….] +
+ a1 * [x + x^3/ 3 + x^5 / (3*5) + x^7 / (3*5*7) +………].
Dabei sind ao und a1die beiden (unabhängigen) Integrationskonst.

Bravo !
In der zweiten eckigen Klammer steht die Reihe, welche in der gestellten Aufgabe auftritt.
Wir brauchen jetzt bloss noch die Anfangsbedingungen zu berücksichtigen.
Damit y(x) mit der gestellten Aufgabe kompatibel ist, verlangen wir:
y(0) = 0 und y´ (0) = 1 ; dies bedingt : ao = 0 , a1 = 1.
y(x) ist nun identisch mit dem Zähler der linken Seite in der Aufgabenstellung
Dividiert man y(x) noch durch e^ (½ x^2 ) und lässt x gegen unendlich streben,
so erscheint zwanglos der vorausgesagte Grenzwert, wie man rechts abliest.

Selbstredend müssen eingehende Untersuchungen zum Konvergenzverhalten
der unendlichen Reihe durchgeführt werden.
Ferner ist nachzuweisen, dass die Reihen in den eckigen Klammern der oben
angegebenen Lösung linear unabhängige partikuläre Lösungen sind und ihre
Linearkombination, gebildet mit den Konstanten ao und a1 wirklich die allgemeine
Lösung der DGL. zweiter Ordnung darstellt
All dies ist offenbar in bester Ordnung, und wir sind froh, alle Klippen mit viel
Glück auch umsegelt zu haben.

Mit freundlichen Grüßen
HR.Mose,megamath.
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Remo
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 09:38:   Beitrag drucken

Hallo megamath,

Besten Dank für Deinen ausführlichen und
sehr lehrreichen Beweis !

MfG.
Remo
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 11:46:   Beitrag drucken

Hi Remo,

Im Nachgang zur obigen Beweisführung möchte ich noch eine kleine,
hoffentlich auch lehrreiche Ergänzung beifügen.
Sie hat mit dem Beweis an und für sich nichts zu tun, geht aber auf
die Folge {F} von Produkten
1, 1*3, 1*3*5 , 1*3*5*7,...,1*3*5*7*...*(2 j +1) ,...
(j = 0,1,2,...) ,
die im Beweis eine Rolle spielt ,etwas näher ein.

In Analogie dazu könnte auch die Folge {G} der Produkte
2, 2*4, 2*4*6, 2*4*6*8,...,2*4*6*8*...*(2 j ) ,...
(j=1,2,3..)
untersucht werden

I.
(F} und {G} treten beide in der Wallis’ schen Formel auf:
½ * Pi = lim {[2^2*4^2*6^2*...*(2 j )^2] / [1^2*3^2*5^2*...*(2 j +1)^2]}
für j strebt gegen unendlich.

II
(F} und {G} treten beide in einem bekannten Integral einer geraden
Sinus-Potenz auf, welches auch bei der Berechnung des Umfangs einer
Ellipse (sic !) auftaucht:
J = int [ (sin x ) ^(2j) * dx =½ * Pi * [1*3*5*...*(2 j -1)] / [2*4*6*8*...*(2 j )]
untere Grenze 0, obere Grenze ½ * Pi .

III.
{F} tritt auf im kleinen Satz von megamath
(einen grossen Satz gibt es nicht !).
Mit G(x) sei die Gamma-Funktion GAMMA(x) bezeichnet.
Will man diese Funktion mit Maple aufrufen, ist diese
Schreibweise mit grossen Buchstaben nötig.
Das erwähnte Sätzchen lautet

Der Quotient von G(x + 1,5) und dem Produkt
P = product [j + 0,5], j = 0,1.... x .
ist für alle x (ganz >= 0 ) eine Konstante K
Für diese Konstante gilt
K = wurzel(Pi).

So kommt es, dass die folgenden Relationen gelten:

2^1*G(3/2) / [1] ........................= wurzel(Pi).

2^2*G(5/2) / [1*3] .................. = wurzel(Pi).

2^3*G(7/2) / [1*3*5].................= wurzel(Pi).

2^4*G(9/2) / [1*3*5*7].............= wurzel(Pi).
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2^j*G(j+½) / [1*3*5*7*....*(2*j -1)] = wurzel(Pi).
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°


Jetzt haben wir die Folge {F}, so hoffe ich , etwas besser im Griff !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 12:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Um die aus unerfindlichen Gründen in „zahlreich“ herrschende Flaute
notdürftig zu überbrücken, lege ich ein paar kleine Relationen vor,
die zu den vorangehenden Arbeiten passen und die man bitte überprüfen
möge.
G(x) ist Gamma(x) , Thema: Gammafunktion von Euler.
v = product (j + ¼ , j = 0..x)

1.
G(x+9/4)*G(7/4) / v = 3/16 * (4x+5) * Pi* wurzel(2)

2
G(x+9/4)*G(11/4) / v = 21/64 * (4x+5) * Pi* wurzel(2)

3.
G(x+13/4)*G(11/4) / v = 21/256 * (4x+5) * (4x+9)*Pi* wurzel(2)

4.
G(x+13/4)*G(15/4) / v = 231/256 * (4x+5) * (4x+9)*Pi* wurzel(2)

5.
G(x+17/4)*G(15/4) / v = 231/4096 * (4x+5) * (4x+9)*(4x+13)*Pi* wurzel(2)

6.
G(x+17/4)*G(19/4) / v = 3465/16384*(4x+5)*(4x+9)*(4x+13)*Pi*wurzel(2)

u.s.w.

MfG
H.R.Moser,megamath


.

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