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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Februar, 2002 - 16:25: | 
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Bricht man die Kettenbruchdarstellung einer unendlichen Zahl (z.B. der Zahl PI) an einer beliebigen Stelle ab, erhält man eine rationale Näherung für diese Zahl. So weit so gut, aber wie kommt man überhaupt zur Kettenbruchdarstellung?
Ein Bruch lässt sich ja mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus leicht in einen Kettenbruch umwandeln, aber wie geht man bei einer Zahl vor, die sich nicht als Bruch darstellen lässt.
Oder lässt sich der Kettenbruch der Zahl PI überhaupt nur dann bestimmen, wenn man zuvor bereits eine Näherung in Dezimalschreibweise ermittelt hat? |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 20:43: |
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Hallo!
Die Zahl, die man in einen Kettenbruch entwickeln will, muss natürlich bekannt sein, egal in welchem Zahlensystem. Von Pi ist natürlich nur eine endliche Anzahl von Stellen bekannt. Je genauer der bekannte Wert ist, um so länger verläuft die Kettenbruchentwicklung eben richtig.
Anders ist es z.B. bei Wurzeln. Um z.B. sqrt(2) in einen Kettenbruch zu entwickeln, brauche ich den Wert von sqrt(2) nicht zu wissen. Es genügt die Tatsachen dass sqrt(2)^2=2 gilt:
1.Schritt: 1<sqrt(2)<2
sqrt(2)=1+(sqrt(2)-1)
2.Schritt:
sqrt(2)-1=1/(1/sqrt(2)-1)=1/(sqrt(2)+1)=1/(2+(sqrt(2)-1))
Der weiter zu entwickelnde Ausdruck ist nun aber wieder sqrt(2)-1. Der Kettenbruch wird also periodisch (gilt für alle Wurzeln, das ist bewiesen) mit der Periodenlänge 1.
sqrt(2)=1+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+.....
Je nachdem, an welcher Stelle man abbricht, erhält man beliebig genaue rationale Näherungswerte für sqrt(2).
1--3/2--7/5--17/12--41/29--u.s.w.
Wie du siehst nähert sich diese Folge von beiden Seiten dem Wert sqrt(2).
Gruß, Rudolf |
N.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Februar, 2002 - 18:42: |
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Nein,
es ist nicht nötig den Wert von Pi in irgendeiner Näherung zu kennen. Ich kenne aber nur einen Kettenbruch für dem Bruch pi/4 !
Gruß N. |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 00:42: |
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Hallo N!
Ob Pi oder Pi/4 ist egal.
Ich glaube dir gerne, dass du einen Kettenbruch dafür kennst. Kannst du aber auch erklären, wie du ihn entwickelst und warum du behaupten kannst, dass Pi/4 herauskommen muss?
Gruß, Rudolf |
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