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Basen ?

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Petra
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 21:01:   Beitrag drucken

Ich versteh das ganze nicht so recht mit den Basen. Wie kann ich mir die vorstellen und wie komm ich da drauf wenn ich einen Vektorraum gegeben habe.
Ist ne blöde Frage ich weiss, aber irgendwo muss man ja anfangen :-)
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Marty (Marty)
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 23:52:   Beitrag drucken

Für den Anfang stelle dir einmal den R² vor, ein ganz normales, zweidimensionales Koordinatensystem vor. e1(1,0) und e2(0,1) sind dann z.B eine Basis, da sie a) linear unabhängig sind und b) sich jeder Vektor des R² durch sie darstellen läßt - probier das doch mal aus!
Eine Basis wäre aber z.B. auch (5,5) und (-7,7).

Nun stelle dir das ganze für R3 vor... wieder erst mit den kanonischen Basisvektoren.

Und dann musst du langsam die Anschaulichkeit verlassen. Man kann sich bei vielen Vektorräumen die Basis nicht mehr "vorstellen" vor dem geistigen Auge, aber zwei Dinge bleiben doch noch: Die Basisvektoren sind a) linear unabhängig und können b) jeden Vektor des Vektorraums darstellen.

Weiß nicht genau, wo dein Problem liegt - aber ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen. Sonst frag einfach nach.

Lg,
MARTY
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Cordian (Cordi777)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 20:18:   Beitrag drucken

Hmm wie kommst Du darauf... gut da gibts viele möglichkeiten: Also sei V mal ein endlich dim VR mit Dim V = z und seien v(1)..v(n) in V mit z<n. Zuerst schaust Du dann ob V= <v(1),..,v(n)> also ob jeder Vektor aus V sich durch eine Linearkombination der Vekoren v(1) .. v(n) darstellen läßt. Dann gilt, dass v(1)...v(n) Erzeugendensystem von V ist. Nun mußt du nur noch so viele Vekoren v(i) wegnehmen, bis die Vektoren linearunabhänig sind. [Das ist notwendig, dass die Zuordnung über die Linearkombination eindeutig ist!].. so prinzipiell solltest Du dann noch z Vektoren haben, die dann alle lienarunabhänig sind.. diese Vekoren bilden dann eine Basis von V...

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