| Autor |
Beitrag |
    
Frank Schuhen
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 13:52: | 
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Ich soll die Länge der längsten Sehne der Ellipse (x²/4)+y²=1 durch den Punkt (0|-1) bestimmen.
Kann mir bitte jemand erklären wie das geht? |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 21:37: |
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Hi Frank,
Die gegebene Ellipse hat die Halbachsen a = 2 und b = 1.
Die Hauptscheitel A ( 2 / 0 ) , B ( -2 / 0 ) liegen auf der x-Achse,
die Nebenscheitel C ( 0 / 1) , D ( 0 / -1 ) auf der y- Achse.
Eine Skizze wird hilfreich sein.
Mit Genugtuung stellen wir fest, dass der Anfangspunkt
aller Sehnen ,die in Betracht zu ziehen sind, mit dem
Nebenscheitel D zusammenfällt.
Dies bietet einige Vorteile für den Rechengang
Ich führe Dir zwei verschiedene Methoden zur Lösung der
Aufgabe vor
1.Methode: Mit Differentialrechnung
Im ersten Quadrant laufe der Punkt L(u/v) auf dem entsprechenden
Ellipsenbogen; somit gilt:
u ^ 2 + 4 * v^2 = 4 ; .....................................................................................(1)
mit F(u,v) bezeichnen wir das Quadrat des Abstandes d des Punktes
L vom festen Punkt P( 0 /-1); es gilt:
F(u,v) = d^2 = u^2 + (v +1)^2......................................................................(2)
Ersetzen wir darin u ^ 2 gemäss (1) durch 4 – 4 v^2, erhalten wir eine
Funktion f = f(v) einer einzigen Variablen v, nämlich
f(v) = 5 – 3 * v ^ 2 + 2 v ( 0<v<1) ; wir leiten nach v ab :
f ´(v) = - 6 * v + 2
f ´´(v) = - 6
f ´ (v) = 0 für v = 1/3 ,
daraus folgt u = wurzel (32/9) = 4/3* wurzel(2)
damit erhalten wir für das relative Maximum von d^2:
d^2 max = 32/9 + 16/9 = 48/9 , also
d max =4/3* wurzel(3)
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Dass das Extremum ein Maximum ist, zeigt die negative zweite Ableitung,
und dass ein absolutes Maximum vorliegt, zeigt ein Vergleich mit den
Randwerten: f(0) = 5 , f(1) = 4;
48/9 für d^2 übertrifft beide Randwerte von d^2.
2.Methode: mit analytischer Geometrie
Durchführung später !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 09:42: |
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Hi Frank,
Es folgt die angekündigte zweite Version einer Lösung
2.Methode: mit analytischer Geometrie
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Wiederum ist L(u / v) der laufende Punkt auf dem Ellipsenbogen im ersten
Quadrant.
Wir suchen diejenige Lage von L , für welche die folgende Bedingung
erfüllt ist.
Die Ellipsentangente t in L steht auf der Verbindungsgeraden g
der Punkte P( 0 / -1) und L ( u / v ) SENKRECHT !
Findet man einen solchen vom Nebenscheitel C verschiedenen Punkt L*,
so erfüllt dieser Punkt eo ipso die Maximalbedingung.
Wir gehen auf die Suche eines solchen Punktes L* , in dem wir
die Steigung m1 von g und m2 von t berechnen ;das Produkt
dieser Steigungen setzen wir minus eins ( Orthogonalitätsbedingung )
Man erhält m1 als Differenzenquotient:
m1 = (v + 1) / u
Man erhält m2 als Ableitung y´ bei impliziter Differentiation
der Ellipsengleichung nach x
2* x + 8 y * y´= 0 , daraus y ´= - x / (4*y) ; in u ,v ausgdrückt :
m2 = - u / (4 * v)
Aus m1*m2 = - 1 ( Orthogonalitätsrelation ) folgt
(v +1)* u = 4*u*v oder wegen u ungleich null: v + 1 = 4 * v, daraus
v = 1 / 3 wie bei der ersten Methode !
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Frank Schuhen
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 14:46: |
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Danke H.R.Moser,megamath!
Du hast mir sehr wietergeholfen!
Mit freundlichen Grüßen
Frank |
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