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Parametrisierung

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Mathematik für Physiker » Parametrisierung « Zurück Vor »

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Ulrich
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 21:23:   Beitrag drucken

hallo!

mir fehlt leider ein entscheidenter Shritt zur Lösung folgender Aufgabe:

Gegeben ist ein Kraftfeld:

F(x+y ; x^2-x)

Berechnet werden soll die Arbeit (mittels Parametrisierung) entlang folgender Strecke:
R0(0 ; 0) --> R1(3 ; 3)

dazu habe ich die Formel:

W(RO,R1)=òF(r)*dr

bzw.

W(TO,T1)=òF(r(t))*(dr/dt)*dt

bei diesem Bsp. ist r(t)=(1 ; 1)*t
(dr/dt)=(1 ; 1)
und somit T0 =0 ,T1=3

soweit klar

wie lässt sich das jetzt aber in die Formel einbauen??

bin über jede Hilfe dankbar!
Ulrich
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Fern
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 11:07:   Beitrag drucken

Hallo Ulrich,
a
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Ulrich
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 12:20:   Beitrag drucken

Hallo Fern,
bei so einer schönen Darstellung muss man das einfach verstehen- danke vielmals!

hätte allerdings noch eine kleine Frage:

Die Kraft in diesem Beispiel ist ja nicht konsrevativ, wie man durch
d(Fx)/dy ¹ d(Fy)/dx bestätigt:
d.h, wenn ich die Arbeit von R1 --> R0 berechne
(gerade zurück) müsste doch eine anderer Wert rauskommen, oder??
Ändern sich in diesem Fall einfach die Grenzen des Integrals?? (dann würde aber wieder die selbe Arbeit mit umgekehrtem Vorzeichen rauskommen, was ja nicht sein kann??)

mfg
Ulrich
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Ulrich
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 14:35:   Beitrag drucken

klar:
ich bin von einer falschen Parametrisierung ausgegangen: Für den Weg zurück müsste das dann wohl so aussehen:

r(t) = (3-t ; 3-t) {0<= t <=3}

??
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Fern
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 15:05:   Beitrag drucken

Hallo Ulrich,
Nein!
Die Parameterdarstellung der Kurve bleibt gleich, nur das t läuft beim Rückweg von t=3 bis t=0.

Wenn das Kraftfeld nicht konservativ ist, so hängt die Arbeit vom Weg ab.

Wenn man allerdings denselben Weg einmal hin und einmal zurück durchläuft, so ist die Gesamtarbeit (wie bei einem konservativen Feld) insgesamt gleich null.

Wenn du aber auf einem anderen Weg zum Ausgangspunkt zurückkehrst (z.B. auf einem Parabelbogen), so ist die Arbeit über diesen geschlossenen Weg nicht mehr gleich null.

Du kannst es ja zur Übung probieren: Weg von (3;3) nach (0;0) über den Weg:
y = (1/3)*x²
(Tipp zum Parametrisieren: x = t setzen)
==========================
Gruß, Fern
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Ulrich
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 17:19:   Beitrag drucken

O.K., habe verstanden.

mit Deiner Parabel kommt folgendes raus (falls es stimmt):

y=(1/3)*x^2
x=sqrt(3*y)

t=x : --> r(t)=(t ; (1/3)*t^2) {t1=3,t2=0}

dr/dt=(1 , (2/3)*t)

-->W(3,0)=ò((2/3)*t^3-(1/3)*t^2+t)dt

-->W=-17
also ¹-9/2

stimmt das zufällig?

mfg
Ulrich
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Fern
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 19:17:   Beitrag drucken

Hallo Ulrich,
Gratuliere! Du hast das Prinzip verstanden.
Es stimmt alles bis auf die (leichte) Auswertung des Integrals:
W = -15
================================
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franz
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 21:03:   Beitrag drucken

Übrigens läßt sich anhand rot F =? 0 sofort sehen, ob das Feld ein Potential besitzt (konservativ ist).

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